Можно ли раскрасить ребра куба в черный и красный цвета так чтобы муравей мог пройти из любой вершины в любую гуляя только по красным ребрам а жук только по черным?
Можно ли раскрасить ребра куба в черный и красный цвета так чтобы муравей мог пройти из любой вершины в любую гуляя только по красным ребрам а жук только по черным?
Интересная задача! Давайте разберемся, возможно ли раскрасить рёбра куба так, чтобы муравей мог пройти из любой вершины в любую, гуляя только по красным рёбрам, а жук — только по чёрным.
Куб имеет 8 вершин и 12 рёбер. Сначала рассмотрим требования задачи для муравья: он должен иметь возможность пройти из любой вершины в любую, используя только красные рёбра. Это означает, что красные рёбра должны образовывать связный граф, в котором все вершины соединены путями.
Аналогично, для жука чёрные рёбра должны образовывать другой связный граф, покрывающий все вершины.
Теперь подумаем о структуре куба. Вершины куба можно сгруппировать в две группы по 4 вершины, каждая из которых образует квадратное лицо куба. Таким образом, каждая вершина соединена с тремя другими вершинами.
Чтобы удовлетворить условия задачи, нам необходимо, чтобы оба подграфа (из красных и чёрных рёбер) были связными. Однако, если мы раскрасим рёбра куба в два цвета, то один из подграфов обязательно окажется несвязным.
Давайте посмотрим на это с точки зрения теории графов. Куб — это регулярный граф степени 3 (каждая вершина соединена с тремя другими). Если мы раскрасим рёбра в два цвета, то одно из подмножеств рёбер неизбежно будет содержать не более 6 рёбер (так как всего рёбер 12). Однако, минимальное количество рёбер, необходимое для связности графа из 8 вершин, — это 7 рёбер (это количество рёбер для дерева, соединяющего 8 вершин). Таким образом, невозможно создать связный подграф из 6 рёбер.
Поэтому, если мы раскрасим рёбра куба в два цвета, один из подграфов будет несвязным. Следовательно, невозможно раскрасить рёбра куба так, чтобы муравей мог двигаться между всеми вершинами, используя только красные рёбра, и одновременно жук — используя только чёрные рёбра.
Да, такое раскрашивание возможно. Рассмотрим куб и раскрасим его следующим образом: выберем одну из вершин в качестве начальной точки и покрасим все инцидентные ребра в черный цвет. Затем для каждой вершины будем красить ребра, инцидентные этой вершине, в тот цвет, который не совпадает с цветом ребра, ведущего к этой вершине из стартовой точки.
Таким образом, мы получим куб, в котором муравей сможет пройти из любой вершины в любую, двигаясь только по красным ребрам, а жук - только по черным.
