Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Какова...

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна V км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки будет равна V+3 км/ч, а против течения - V-3 км/ч.

Для расстояния, пройденного по течению, можно записать уравнение: 25 = (V+3) * t1, где t1 - время движения по течению.

Для расстояния, пройденного против течения, уравнение будет: 3 = (V-3) * t2, где t2 - время движения против течения.

Также известно, что суммарное время движения по обоим участкам равно 2 часам: t1 + t2 = 2.

Теперь можем составить систему уравнений и решить ее:

25 = (V+3) t1 3 = (V-3) t2 t1 + t2 = 2

Подставляем t1 = 25 / (V+3) и t2 = 3 / (V-3) в третье уравнение: 25 / (V+3) + 3 / (V-3) = 2

Далее решаем полученное уравнение и находим значение скорости лодки в стоячей воде V.

Для решения этой задачи нам необходимо сначала выразить условия задачи через математические уравнения.

Обозначим скорость лодки в стоячей воде как ( v ) км/ч. Скорость реки дана и равна 3 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки будет ( v + 3 ) км/ч, а против течения — ( v - 3 ) км/ч.

1. Время, затраченное на путь по течению реки на расстояние 25 км, будет ( \frac{25}{v + 3} ) часов.
2. Время, затраченное на путь против течения реки на расстояние 3 км, будет ( \frac{3}{v - 3} ) часов.

Согласно условию задачи, общее время составило 2 часа. Составим уравнение, приравняв сумму времен к 2 часам: [ \frac{25}{v + 3} + \frac{3}{v - 3} = 2. ]

Для решения этого уравнения приведем его к общему знаменателю: [ \frac{25(v - 3) + 3(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = 2. ]

Раскроем скобки в числителе: [ 25v - 75 + 3v + 9 = 2(v^2 - 9). ]

Соберем все члены уравнения с одной стороны: [ 28v - 66 = 2v^2 - 18. ]

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: [ 2v^2 - 28v + 48 = 0. ]

Упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 2: [ v^2 - 14v + 24 = 0. ]

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: [ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100. ] [ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 10}{2}. ]

Отсюда получаем два корня: [ v_1 = 12, \quad v_2 = 2. ]

Однако, если скорость лодки в стоячей воде 2 км/ч, то против течения её скорость станет отрицательной (2 - 3 = -1), что невозможно. Таким образом, единственно возможное значение — ( v = 12 ) км/ч.

Таким образом, скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.