Метод Крамера 2x+3y=13 5x y=7

Метод Крамера — это способ решения систем линейных уравнений с помощью определителей. Он применяется, когда система состоит из n уравнений с n неизвестными и имеет уникальное решение. В данном случае у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

1. ( 2x + 3y = 13 )
2. ( 5x + y = 7 )

Для применения метода Крамера, нам нужно сначала записать систему в матричной форме:

[ \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 5 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 13 \ 7 \end{bmatrix} ]

Шаг 1: Находим определитель матрицы коэффициентов

Определитель матрицы коэффициентов ( D ) вычисляется по формуле для 2x2 матрицы:

[ D = \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 5 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1) - (3 \cdot 5) = 2 - 15 = -13 ]

Шаг 2: Находим определители для переменных

Теперь мы находим определители для ( x ) и ( y ), заменяя соответствующие столбцы в матрице коэффициентов на вектор свободных членов.

Определитель для ( x ) (( D_x ))

Заменим первый столбец на вектор свободных членов:

[ D_x = \begin{vmatrix} 13 & 3 \ 7 & 1 \end{vmatrix} = (13 \cdot 1) - (3 \cdot 7) = 13 - 21 = -8 ]

Определитель для ( y ) (( D_y ))

Заменим второй столбец на вектор свободных членов:

[ D_y = \begin{vmatrix} 2 & 13 \ 5 & 7 \end{vmatrix} = (2 \cdot 7) - (13 \cdot 5) = 14 - 65 = -51 ]

Шаг 3: Находим значения переменных

Теперь мы можем найти значения ( x ) и ( y ):

[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-8}{-13} = \frac{8}{13} ]

[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{-51}{-13} = \frac{51}{13} ]

Ответ

Таким образом, решение системы уравнений:

[ x = \frac{8}{13}, \quad y = \frac{51}{13} ]

Эти значения ( x ) и ( y ) можно подставить обратно в исходные уравнения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют системе. Это подтверждает, что метод Крамера был применён корректно и решение найдено верно.

Метод Крамера — это способ решения систем линейных уравнений с помощью определителей. Рассмотрим, как решить систему уравнений:

[ 2x + 3y = 13 ] [ 5x + y = 7 ]

Шаг 1: Общий вид

Для применения метода Крамера, система уравнений должна быть записана в общем виде: [ a_1x + b_1y = c_1 ] [ a_2x + b_2y = c_2 ]

В нашем случае: [ a_1 = 2, \, b_1 = 3, \, c_1 = 13 ] [ a_2 = 5, \, b_2 = 1, \, c_2 = 7 ]

Шаг 2: Определитель основной матрицы (D)

Определитель основной матрицы (D) вычисляется следующим образом: [ D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 ]

Подставляем числа: [ D = \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 5 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1) - (5 \cdot 3) = 2 - 15 = -13 ]

Шаг 3: Определитель (D_x)

Определитель (D_x) — это определитель матрицы, полученной заменой столбца коэффициентов при (x) на столбец свободных членов ((c_1), (c_2)): [ D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1 \cdot b_2 - c_2 \cdot b_1 ]

Подставляем числа: [ D_x = \begin{vmatrix} 13 & 3 \ 7 & 1 \end{vmatrix} = (13 \cdot 1) - (7 \cdot 3) = 13 - 21 = -8 ]

Шаг 4: Определитель (D_y)

Определитель (D_y) — это определитель матрицы, полученной заменой столбца коэффициентов при (y) на столбец свободных членов ((c_1), (c_2)): [ D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1 \cdot c_2 - a_2 \cdot c_1 ]

Подставляем числа: [ D_y = \begin{vmatrix} 2 & 13 \ 5 & 7 \end{vmatrix} = (2 \cdot 7) - (5 \cdot 13) = 14 - 65 = -51 ]

Шаг 5: Вычисление (x) и (y)

Теперь, по формуле Крамера: [ x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D} ]

Находим (x): [ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-8}{-13} = \frac{8}{13} ]

Находим (y): [ y = \frac{D_y}{D} = \frac{-51}{-13} = \frac{51}{13} ]

Ответ

Решение системы уравнений: [ x = \frac{8}{13}, \, y = \frac{51}{13} ]

Или в десятичном виде: [ x \approx 0.615, \, y \approx 3.923 ]