Log^2 3 x- 10*log3 x+21=0 Решить логорифм. Уравнение

Рассмотрим уравнение:

[ \log_3^2 x - 10 \cdot \log_3 x + 21 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно (\log_3 x). Чтобы решить его, введем замену переменной:

[ y = \log_3 x, ]

где (y = \log_3 x). Тогда уравнение перепишется в виде:

[ y^2 - 10y + 21 = 0. ]

Теперь решим это квадратное уравнение стандартным методом через дискриминант. Формула для дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac, ]

где (a = 1), (b = -10), (c = 21). Подставим значения:

[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16. ]

Так как дискриминант положительный ((D > 0)), уравнение имеет два разных корня. Формула для корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

Подставим значения (a = 1), (b = -10), (D = 16):

[ y_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7, ] [ y_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3. ]

Итак, получаем два корня для (y):

[ y_1 = 7, \quad y_2 = 3. ]

Теперь вернемся к исходной замене (y = \log_3 x). Это дает два уравнения:

1. (\log_3 x = 7),
2. (\log_3 x = 3).

Решим каждое из них. Используем определение логарифма: (\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b).

Решение первого уравнения:

[ \log_3 x = 7 \implies x = 3^7. ] Вычислим (3^7): [ 3^7 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2187. ] Итак, (x = 2187).

Решение второго уравнения:

[ \log_3 x = 3 \implies x = 3^3. ] Вычислим (3^3): [ 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27. ] Итак, (x = 27).

Ответ:

Решениями исходного уравнения являются:

[ x = 2187 \quad \text{и} \quad x = 27. ]

Для решения уравнения ( \log^2_3 x - 10 \log_3 x + 21 = 0 ), начнем с введения новой переменной. Пусть ( y = \log_3 x ). Тогда уравнение можно переписать в виде:

[ y^2 - 10y + 21 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) определяется как:

[ D = b^2 - 4ac ]

где ( a = 1 ), ( b = -10 ), ( c = 21 ). Подставим значения:

[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 ]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных решения. Найдем корни уравнения с помощью формулы:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения:

[ y = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 4}{2} ]

Теперь вычислим два корня:

1. ( y_1 = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7 )
2. ( y_2 = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 )

Таким образом, мы получили два значения для ( y ):

[ y_1 = 7 \quad \text{и} \quad y_2 = 3 ]

Теперь вернемся к переменной ( x ). Помним, что ( y = \log_3 x ). Следовательно, у нас есть два уравнения для решения:

1. ( \log_3 x = 7 )
2. ( \log_3 x = 3 )

Решим каждое из них:

1. Для ( \log_3 x = 7 ):

[ x = 3^7 = 2187 ]

1. Для ( \log_3 x = 3 ):

[ x = 3^3 = 27 ]

Таким образом, у уравнения ( \log^2_3 x - 10 \log_3 x + 21 = 0 ) есть два решения:

[ x_1 = 2187 \quad \text{и} \quad x_2 = 27 ]

Ответ: ( x = 27 ) и ( x = 2187 ).