Квадрат со стороной 3 см вращается вокруг своей диагонали . Найдите площадь поверхности тела вращения...

Для решения этой задачи нам нужно сначала понять, какую фигуру мы получаем при вращении квадрата вокруг его диагонали. Вращение квадрата вокруг диагонали приводит к образованию тела, известного как круговой цилиндр с приписанными к его основаниям двумя конусами.

Давайте разберемся с размерами всех элементов:

1. Диаметр основания цилиндра и высота конусов: Диагональ квадрата со стороной 3 см можно найти по теореме Пифагора: [ d = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ см} ] Поскольку диагональ квадрата становится осью вращения, то диаметр основания цилиндра и высота каждого из конусов равняется длине стороны квадрата, то есть 3 см.

2. Высота цилиндра: Высота цилиндра равна длине диагонали, минус две высоты конусов (по одной на каждый конус, так как квадрат вращается вокруг диагонали): [ H = 3\sqrt{2} - 2 \times 3 = 3\sqrt{2} - 6 \text{ см} ]

3. Радиус основания цилиндра и конусов: Радиус основания цилиндра (также и конусов) равен половине стороны квадрата, так как каждая сторона квадрата вращается вокруг диагонали: [ r = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ см} ]

Теперь мы можем рассчитать площадь поверхности полученной фигуры:

Площадь боковой поверхности цилиндра: [ A_{цилиндр} = 2\pi r H = 2\pi \times 1.5 \times (3\sqrt{2} - 6) \text{ см}^2 ]

Площадь полной поверхности каждого из конусов (боковая плюс основание): [ A{конус} = \pi r l + \pi r^2 ] где ( l ) – образующая конуса, которая равна: [ l = \sqrt{3^2 + 1.5^2} = \sqrt{9 + 2.25} = \sqrt{11.25} \text{ см} ] Таким образом: [ A{конус} = \pi \times 1.5 \times \sqrt{11.25} + \pi \times (1.5)^2 \text{ см}^2 ]

Сложите площадь боковой поверхности цилиндра и удвоенную площадь полной поверхности одного конуса (так как конусов два), чтобы получить итоговую площадь поверхности тела вращения.

Для нахождения площади поверхности тела вращения квадрата с длиной стороны 3 см вокруг его диагонали, нужно использовать формулу для площади поверхности вращения. При вращении квадрата вокруг диагонали образуется конус с радиусом основания, равным половине длины диагонали квадрата, и высотой, равной длине стороны квадрата.

Таким образом, радиус основания конуса будет равен 3√2/2 см, а его высота также будет равна 3 см. Для нахождения площади поверхности тела вращения нужно сложить площадь основания конуса и площадь боковой поверхности конуса.

Площадь основания конуса равна πr^2, где r - радиус основания конуса, а π - математическая константа (пи).

Площадь боковой поверхности конуса равна πrl, где l - образующая конуса (в данном случае длина стороны квадрата).

Таким образом, площадь поверхности тела вращения будет равна S = π(3√2/2)^2 + π(3√2/2)(3) = π(9/2) + π(9√2/2) ≈ 70.685 см^2.

Итак, площадь поверхности тела вращения квадрата со стороной 3 см вокруг его диагонали составляет примерно 70.685 квадратных сантиметров.