Корень 3 степени из х + корень 6 степени из х - 12 = 0 Решите уравнение Ответ : 729

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его, чтобы избавиться от корней.

Пусть корень 3 степени из х = у. Тогда у^3 = х. Аналогично, пусть корень 6 степени из х = z. Тогда z^6 = х.

Теперь уравнение примет вид: у + z - 12 = 0

Заменим у и z обратно на корни: корень 3 степени из х + корень 6 степени из х - 12 = 0

Таким образом, у + z - 12 = 0

Рассмотрим уравнение у + z - 12 = 0. Подставим значения у и z обратно: корень 3 степени из х + корень 6 степени из х - 12 = 0

Теперь решим уравнение у + z - 12 = 0: у + z - 12 = 0 корень 3 степени из х + корень 6 степени из х - 12 = 0

Получаем у = 3, z = 9 Таким образом, х = у^3 = 3^3 = 27 Ответ: 27.

Для решения данного уравнения введем новую переменную: ( y = \sqrt[6]{x} ). Тогда ( \sqrt[3]{x} = y^2 ), так как корень шестой степени в квадрате это корень третьей степени. Теперь подставим это в исходное уравнение:

[ y^2 + y - 12 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно ( y ). Найдем его корни, используя формулу для корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = -12 ). Тогда:

[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} ]

Отсюда получаем два корня:

1. ( y = \frac{6}{2} = 3 )
2. ( y = \frac{-8}{2} = -4 )

Однако, поскольку ( y = \sqrt[6]{x} ) должно быть неотрицательным (поскольку корень четной степени из отрицательного числа не определен в действительных числах), остается только корень ( y = 3 ).

Теперь вернемся к переменной ( x ):

[ \sqrt[6]{x} = 3 ]

Возведем обе части уравнения в шестую степень:

[ x = 3^6 ] [ x = 729 ]

Таким образом, ( x = 729 ) является единственным решением исходного уравнения.