Катер прошёл расстояние из пункта А в пункт Б и вернулся назад. Скорость течения речки равна 3 км/ч....

Решим задачу шаг за шагом.

Дано:

1. Скорость течения реки ( v_{\text{течения}} = 3 \, \text{км/ч} ).
2. Время движения из пункта ( A ) в пункт ( B ): ( t_1 = 1.5 \, \text{ч} ).
3. Время движения из пункта ( B ) в пункт ( A ): ( t_2 = 2 \, \text{ч} ).
4. Требуется найти скорость катера в стоячей воде (( v_{\text{катера}} )).

Пусть расстояние между пунктами ( A ) и ( B ) равно ( S \, \text{км} ), а скорость катера в стоячей воде обозначим как ( v_{\text{катера}} = v \, \text{км/ч} ).

Первый этап: Выразим скорость катера относительно течения

Когда катер движется по течению реки, его результирующая скорость равна: [ v{\text{по течению}} = v + v{\text{течения}} = v + 3. ]

Когда катер движется против течения реки, его результирующая скорость равна: [ v{\text{против течения}} = v - v{\text{течения}} = v - 3. ]

Второй этап: Связь между скоростью, временем и расстоянием

Расстояние ( S ) между пунктами ( A ) и ( B ) можно выразить двумя способами:

1. По течению (из ( A ) в ( B )): [ S = v_{\text{по течению}} \cdot t_1 = (v + 3) \cdot 1.5. ]
2. Против течения (из ( B ) в ( A )): [ S = v_{\text{против течения}} \cdot t_2 = (v - 3) \cdot 2. ]

Так как расстояние ( S ) одинаково в обоих случаях, приравняем эти выражения: [ (v + 3) \cdot 1.5 = (v - 3) \cdot 2. ]

Третий этап: Решим уравнение

Раскроем скобки: [ 1.5v + 4.5 = 2v - 6. ]

Перенесём все члены с ( v ) в одну сторону, а все числа — в другую: [ 1.5v - 2v = -6 - 4.5, ] [ -0.5v = -10.5. ]

Разделим обе стороны на (-0.5): [ v = \frac{-10.5}{-0.5} = 21. ]

Четвёртый этап: Проверка

Подставим найденное значение ( v = 21 \, \text{км/ч} ) в исходные выражения для расстояния ( S ).

1. При движении по течению: [ v_{\text{по течению}} = 21 + 3 = 24 \, \text{км/ч}. ] [ S = 24 \cdot 1.5 = 36 \, \text{км}. ]

2. При движении против течения: [ v_{\text{против течения}} = 21 - 3 = 18 \, \text{км/ч}. ] [ S = 18 \cdot 2 = 36 \, \text{км}. ]

Расстояние совпадает, значит, решение верное.

Ответ:

Скорость катера в стоячей воде равна ( 21 \, \text{км/ч} ).

Обозначим скорость катера в стоячей воде как ( v ) км/ч.

При движении вниз по течению (из А в Б) скорость катера составит ( v + 3 ) км/ч, а при движении вверх (из Б в А) — ( v - 3 ) км/ч.

Расстояние ( S ) между пунктами можно выразить через время и скорость:

1. Для пути из А в Б:
   ( S = (v + 3) \cdot 1.5 )

2. Для пути из Б в А:
   ( S = (v - 3) \cdot 2 )

Приравняем оба выражения для расстояния:

[ (v + 3) \cdot 1.5 = (v - 3) \cdot 2 ]

Раскроем скобки:

[ 1.5v + 4.5 = 2v - 6 ]

Переносим все члены с ( v ) в одну сторону, а постоянные в другую:

[ 4.5 + 6 = 2v - 1.5v ]

[ 10.5 = 0.5v ]

Делим обе стороны на 0.5:

[ v = 21 \text{ км/ч} ]

Таким образом, скорость катера в стоячей воде составляет 21 км/ч.

Для решения задачи будем использовать формулы для расчета скорости, времени и расстояния. Обозначим скорость катера в стоячей воде как ( V_k ) (в км/ч), а скорость течения реки как ( V_t = 3 ) км/ч.

Когда катер движется из пункта А в пункт Б, он движется по течению, и его эффективная скорость будет равна ( V_k + V_t ). Когда он возвращается из пункта Б в пункт А, он движется против течения, и его скорость будет равна ( V_k - V_t ).

Далее, обозначим расстояние между пунктами A и B за ( D ). Тогда можем записать время в пути:

1. Для пути от A до B: [ T_{AB} = \frac{D}{V_k + Vt} = 1.5 \text{ часа} ] Подставляя значение скорости течения, получаем: [ T{AB} = \frac{D}{V_k + 3} = 1.5 ]

2. Для пути от B до A: [ T_{BA} = \frac{D}{V_k - Vt} = 2 \text{ часа} ] Подставляя значение скорости течения, получаем: [ T{BA} = \frac{D}{V_k - 3} = 2 ]

Теперь у нас есть две формулы:

1. ( D = 1.5 (V_k + 3) )
2. ( D = 2 (V_k - 3) )

Поскольку обе равны ( D ), можем приравнять их друг к другу: [ 1.5 (V_k + 3) = 2 (V_k - 3) ]

Раскроем скобки: [ 1.5 V_k + 4.5 = 2 V_k - 6 ]

Переносим все слагаемые, содержащие ( V_k ), в одну сторону, а константы — в другую: [ 4.5 + 6 = 2 V_k - 1.5 V_k ] [ 10.5 = 0.5 V_k ]

Теперь выразим ( V_k ): [ V_k = \frac{10.5}{0.5} = 21 \text{ км/ч} ]

Таким образом, скорость катера в стоячей воде составляет 21 км/ч.