Как решить Аня хочет вписать числа в пустые кружочки так,чтобы на всех сторонах пятиугольника суммы...

Для решения этой задачи сначала обозначим кружочки как вершины пятиугольника. Пусть пятиугольник имеет вершины $A,B,C,D,E$ $почасовойстрелке$. В каждой вершине пятиугольника находится по одному числу, и мы хотим, чтобы суммы чисел на каждой стороне пятиугольника были одинаковыми.

Для простоты обозначим числа, которые Аня собирается вписать в кружочки, как $a,b,c,d,e$ соответственно, где:

• $a$ — число в вершине $A$,
• $b$ — число в вершине $B$,
• $c$ — число в вершине $C$,
• $d$ — число в вершине $D$,
• $e$ — число в вершине $E$.

Мы знаем, что суммы чисел на каждой стороне пятиугольника должны быть одинаковыми. Стороны пятиугольника это:

1. $A$-$B$-$C$,
2. $B$-$C$-$D$,
3. $C$-$D$-$E$,
4. $D$-$E$-$A$,
5. $E$-$A$-$B$.

Пусть эта общая сумма равна $S$. Тогда у нас пять уравнений:

1. $a+b+c=S$,
2. $b+c+d=S$,
3. $c+d+e=S$,
4. $d+e+a=S$,
5. $e+a+b=S$.

Сложим все пять уравнений: $(a+b+c)+(b+c+d)+(c+d+e)+(d+e+a)+(e+a+b)=5S$

Заметим, что каждая переменная $a,b,c,d,e$ встречается в сумме ровно три раза: $3a+3b+3c+3d+3e=5S$

Это можно упростить до: $3(a+b+c+d+e)=5S$

Разделим обе стороны на 3: $a+b+c+d+e=\frac{5S}{3}$

Так как $a+b+c+d+e$ должно быть целым числом, $\frac{5S}{3}$ также должно быть целым числом. Это означает, что $S$ должно быть кратно 3. Пусть $S=3k$, где $k$ — целое число.

Тогда: $a+b+c+d+e=5k$

Теперь вернемся к уравнениям:

1. $a+b+c=3k$,
2. $b+c+d=3k$,
3. $c+d+e=3k$,
4. $d+e+a=3k$,
5. $e+a+b=3k$.

Предположим, что Аня должна вписать число в закрашенный кружочек, скажем, в вершину $A$. Чтобы найти это число, заметим, что сумма всех чисел на пятиугольнике равна $5k$. Мы можем выбрать любые числа $k$ так, чтобы уравнения были удовлетворены. Например, если $k=1$, то $S=3$.

Подставим $k=1$: $a+b+c=3$ $b+c+d=3$ $c+d+e=3$ $d+e+a=3$ $e+a+b=3$

Решение этой системы уравнений потребует конкретных значений для $b,c,d,e$, но принципиально, если $S=3k$, то значение $a$ можно найти, зная значения $b,c$ и $k$.

Примерное решение для $k=1$: Если $c=1$, $b=1$, $d=1$, $e=1$, то: $a+1+1=3$ $a=1$

Таким образом, Аня должна вписать число $1$ в закрашенный кружочек, если $k=1$.

Для решения этой задачи, нужно воспользоваться методом составления уравнений. Пусть А, В, С, D, E - вершины пятиугольника, а a, b, c, d, e - числа, которые Аня вписывает в кружочки. Тогда у нас будет следующая система уравнений:

a + b + c = b + c + d = c + d + e = d + e + a = e + a + b

Эту систему можно решить методом подстановки или методом сложения уравнений. После решения системы получим, что число, которое нужно вписать в закрашенный кружочек, равно сумме всех пяти чисел, деленной на 3.