Как решить Аня хочет вписать числа в пустые кружочки так,чтобы на всех сторонах пятиугольника суммы...

Для решения этой задачи сначала обозначим кружочки как вершины пятиугольника. Пусть пятиугольник имеет вершины ( A, B, C, D, E ) (по часовой стрелке). В каждой вершине пятиугольника находится по одному числу, и мы хотим, чтобы суммы чисел на каждой стороне пятиугольника были одинаковыми.

Для простоты обозначим числа, которые Аня собирается вписать в кружочки, как ( a, b, c, d, e ) соответственно, где:

• ( a ) — число в вершине ( A ),
• ( b ) — число в вершине ( B ),
• ( c ) — число в вершине ( C ),
• ( d ) — число в вершине ( D ),
• ( e ) — число в вершине ( E ).

Мы знаем, что суммы чисел на каждой стороне пятиугольника должны быть одинаковыми. Стороны пятиугольника это:

1. ( A )-(B )-(C ),
2. ( B )-(C )-(D ),
3. ( C )-(D )-(E ),
4. ( D )-(E )-(A ),
5. ( E )-(A )-(B ).

Пусть эта общая сумма равна ( S ). Тогда у нас пять уравнений:

1. ( a + b + c = S ),
2. ( b + c + d = S ),
3. ( c + d + e = S ),
4. ( d + e + a = S ),
5. ( e + a + b = S ).

Сложим все пять уравнений: [ (a + b + c) + (b + c + d) + (c + d + e) + (d + e + a) + (e + a + b) = 5S ]

Заметим, что каждая переменная ( a, b, c, d, e ) встречается в сумме ровно три раза: [ 3a + 3b + 3c + 3d + 3e = 5S ]

Это можно упростить до: [ 3(a + b + c + d + e) = 5S ]

Разделим обе стороны на 3: [ a + b + c + d + e = \frac{5S}{3} ]

Так как ( a + b + c + d + e ) должно быть целым числом, ( \frac{5S}{3} ) также должно быть целым числом. Это означает, что ( S ) должно быть кратно 3. Пусть ( S = 3k ), где ( k ) — целое число.

Тогда: [ a + b + c + d + e = 5k ]

Теперь вернемся к уравнениям:

1. ( a + b + c = 3k ),
2. ( b + c + d = 3k ),
3. ( c + d + e = 3k ),
4. ( d + e + a = 3k ),
5. ( e + a + b = 3k ).

Предположим, что Аня должна вписать число в закрашенный кружочек, скажем, в вершину ( A ). Чтобы найти это число, заметим, что сумма всех чисел на пятиугольнике равна ( 5k ). Мы можем выбрать любые числа ( k ) так, чтобы уравнения были удовлетворены. Например, если ( k = 1 ), то ( S = 3 ).

Подставим ( k = 1 ): [ a + b + c = 3 ] [ b + c + d = 3 ] [ c + d + e = 3 ] [ d + e + a = 3 ] [ e + a + b = 3 ]

Решение этой системы уравнений потребует конкретных значений для ( b, c, d, e ), но принципиально, если ( S = 3k ), то значение ( a ) можно найти, зная значения ( b, c ) и ( k ).

Примерное решение для ( k = 1 ): Если ( c = 1 ), ( b = 1 ), ( d = 1 ), ( e = 1 ), то: [ a + 1 + 1 = 3 ] [ a = 1 ]

Таким образом, Аня должна вписать число ( 1 ) в закрашенный кружочек, если ( k = 1 ).

Для решения этой задачи, нужно воспользоваться методом составления уравнений. Пусть А, В, С, D, E - вершины пятиугольника, а a, b, c, d, e - числа, которые Аня вписывает в кружочки. Тогда у нас будет следующая система уравнений:

a + b + c = b + c + d = c + d + e = d + e + a = e + a + b

Эту систему можно решить методом подстановки или методом сложения уравнений. После решения системы получим, что число, которое нужно вписать в закрашенный кружочек, равно сумме всех пяти чисел, деленной на 3.