Из вершины A прямоугольника ABCD проведён к его плоскости перпендикуляр AK,конец которого отстоит от...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать теорему Пифагора. Обозначим длины отрезков AK, AB, AC и AD как x, a, b и c соответственно.

Так как AK перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD, то треугольник AKD является прямоугольным. Также из условия задачи мы знаем, что расстояния от конца отрезка AK до вершин прямоугольника равны 6 см, 7 см и 9 см.

Применим теорему Пифагора к треугольнику AKD: AD^2 = AK^2 + DK^2

Так как DK = AB = 6 см, то: c^2 = x^2 + 6^2 c^2 = x^2 + 36

В то же время, так как AD = 9 см, то: c = 9

Подставляем c = 9 в уравнение: 9^2 = x^2 + 36 81 = x^2 + 36 x^2 = 81 - 36 x^2 = 45 x = √45 x = 3√5

Таким образом, длина отрезка AK равна 3√5 см.

Длина AK равна 8 см.

Для решения задачи нужно использовать геометрические свойства прямоугольника и перпендикуляра, проведенного из одной из его вершин.

Рассмотрим прямоугольник ABCD, расположенный в плоскости XY. Пусть вершина A находится в начале координат (0, 0, 0), вершина B — в точке (a, 0, 0), вершина D — в точке (0, b, 0), и вершина C — в точке (a, b, 0). Перпендикуляр AK проведен из вершины A и отстоит от плоскости прямоугольника на расстоянии h, так что точка K имеет координаты (0, 0, h).

Теперь рассмотрим расстояния от точки K до других вершин прямоугольника.

• Расстояние от K до B: это расстояние между точками (0,0,h) и (a,0,0). Используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве: [ d_{KB} = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{a^2 + h^2} ] По условию, это расстояние равно 6 см: [ \sqrt{a^2 + h^2} = 6 ] [ a^2 + h^2 = 36 ]

• Расстояние от K до D: это расстояние между точками (0,0,h) и (0,b,0). Используем ту же формулу: [ d_{KD} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (b - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{b^2 + h^2} ] По условию, это расстояние равно 7 см: [ \sqrt{b^2 + h^2} = 7 ] [ b^2 + h^2 = 49 ]

• Расстояние от K до C: это расстояние между точками (0,0,h) и (a,b,0). Используем ту же формулу: [ d_{KC} = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} ] По условию, это расстояние равно 9 см: [ \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} = 9 ] [ a^2 + b^2 + h^2 = 81 ]

Теперь у нас есть три уравнения:

1. ( a^2 + h^2 = 36 )
2. ( b^2 + h^2 = 49 )
3. ( a^2 + b^2 + h^2 = 81 )

Вычтем первое уравнение из третьего: [ a^2 + b^2 + h^2 - (a^2 + h^2) = 81 - 36 ] [ b^2 = 45 ]

Теперь вычтем второе уравнение из третьего: [ a^2 + b^2 + h^2 - (b^2 + h^2) = 81 - 49 ] [ a^2 = 32 ]

Теперь подставим значения (a^2) и (b^2) в любое из первых двух уравнений. Возьмем первое уравнение: [ a^2 + h^2 = 36 ] [ 32 + h^2 = 36 ] [ h^2 = 4 ] [ h = 2 ]

Таким образом, длина перпендикуляра AK равна 2 см.