Из точки A к плоскости альфа проведены две наклонные, длины которых 19 см. и 2√70 см. Их Проекции на эту плоскость относятся как 5:4. Найдите расстояние от точки A до плоскостности альфа. 1) 12см 2) 2√34см 3) 14 см 4) √145см
Из точки A к плоскости альфа проведены две наклонные, длины которых 19 см. и 2√70 см. Их Проекции на эту плоскость относятся как 5:4. Найдите расстояние от точки A до плоскостности альфа. 1) 12см 2) 2√34см 3) 14 см 4) √145см
Для того чтобы найти расстояние от точки A до плоскости (\alpha), нужно воспользоваться свойствами наклонных и проекций.
Обозначим точку A как (A), плоскость (\alpha) как (\alpha), и точки проекций на плоскость как (P) и (Q) соответственно. Пусть длины наклонных (AP) и (AQ) равны (19 \, \text{см}) и (2\sqrt{70} \, \text{см}) соответственно. Обозначим проекции этих наклонных на плоскость (\alpha) как (AP') и (AQ'), причем известно, что (AP') и (AQ') относятся как (5:4).
Для решения задачи используем прямоугольные треугольники (APP') и (AQQ'), где (AP') и (AQ') — это длины проекций наклонных, а (AA') — это перпендикуляр, то есть расстояние от точки (A) до плоскости (\alpha).
Пусть (d) — это искомое расстояние от точки (A) до плоскости (\alpha). Тогда по теореме Пифагора в треугольниках (APP') и (AQQ') имеем: [ AP = \sqrt{AP'^2 + d^2} = 19 \, \text{см} ] [ AQ = \sqrt{AQ'^2 + d^2} = 2\sqrt{70} \, \text{см} ]
Обозначим (AP' = 5k) и (AQ' = 4k), где (k) — некий коэффициент пропорциональности.
Теперь подставим (AP') и (AQ') в уравнения: [ 19 = \sqrt{(5k)^2 + d^2} ] [ 2\sqrt{70} = \sqrt{(4k)^2 + d^2} ]
Решим эти уравнения. Для первого уравнения: [ 19^2 = (5k)^2 + d^2 ] [ 361 = 25k^2 + d^2 \quad \text{(1)} ]
Для второго уравнения: [ (2\sqrt{70})^2 = (4k)^2 + d^2 ] [ 280 = 16k^2 + d^2 \quad \text{(2)} ]
Вычтем уравнение (2) из уравнения (1): [ 361 - 280 = 25k^2 - 16k^2 ] [ 81 = 9k^2 ] [ k^2 = 9 ] [ k = 3 ]
Теперь подставим значение (k) в одно из исходных уравнений, например в уравнение (1): [ 361 = 25(3^2) + d^2 ] [ 361 = 25 \cdot 9 + d^2 ] [ 361 = 225 + d^2 ] [ d^2 = 136 ] [ d = \sqrt{136} ] [ d = 2\sqrt{34} ]
Ответ: (2\sqrt{34} \, \text{см}), что соответствует варианту (2).
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойством подобных треугольников.
Обозначим длину проекции первой наклонной как 5x, а второй - 4x. Тогда сумма их квадратов будет равна квадрату длины наклонной:
(5x)^2 + (4x)^2 = (19)^2 25x^2 + 16x^2 = 361 41x^2 = 361 x^2 = 361 / 41 x^2 = 9 x = 3
Теперь найдем расстояние от точки A до плоскости альфа, используя подобные треугольники. По теореме Пифагора:
(3)^2 + (4x)^2 = d^2 9 + 169 = d^2 9 + 144 = d^2 153 = d^2 d = √153 = √(917) = 3√17
Ответ: 2) 3√17 см
