Исключить иррациональность из знаменателя дроби: 1)3/корень 21 2)1/5-корень 7

1) Умножить и поделить на корень из 21 Ответ: 3/(√21)

2) Умножить и поделить на 5+корень 7 Ответ: 1/(5+√7)

1) Для исключения иррациональности из знаменателя дроби 3/√21 можно умножить и разделить на √21: 3/√21 = 3/√21 * √21/√21 = 3√21/21 = √21/7

2) Для исключения иррациональности из знаменателя дроби 1/(5-√7) можно умножить и разделить на (5+√7): 1/(5-√7) = 1/(5-√7) * (5+√7)/(5+√7) = (5+√7)/(25-7) = (5+√7)/18

Чтобы исключить иррациональность из знаменателя дроби, необходимо умножить числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы в знаменателе получилось рациональное число. Рассмотрим каждую из предложенных дробей по отдельности.

1) ( \frac{3}{\sqrt{21}} )

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на ( \sqrt{21} ): [ \frac{3}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}} = \frac{3 \sqrt{21}}{21} ]

Теперь упростим полученное выражение: [ \frac{3 \sqrt{21}}{21} = \frac{\sqrt{21}}{7} ]

Таким образом, ( \frac{3}{\sqrt{21}} ) после исключения иррациональности из знаменателя преобразуется в ( \frac{\sqrt{21}}{7} ).

2) ( \frac{1}{5 - \sqrt{7}} )

Здесь знаменатель содержит выражение вида ( a - \sqrt{b} ). Чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение ( 5 + \sqrt{7} ): [ \frac{1}{5 - \sqrt{7}} \cdot \frac{5 + \sqrt{7}}{5 + \sqrt{7}} = \frac{5 + \sqrt{7}}{(5 - \sqrt{7})(5 + \sqrt{7})} ]

Разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов ( a^2 - b^2 ): [ (5 - \sqrt{7})(5 + \sqrt{7}) = 5^2 - (\sqrt{7})^2 = 25 - 7 = 18 ]

Теперь подставим значение знаменателя обратно в дробь: [ \frac{5 + \sqrt{7}}{18} ]

Таким образом, ( \frac{1}{5 - \sqrt{7}} ) после исключения иррациональности преобразуется в ( \frac{5 + \sqrt{7}}{18} ).

В обоих случаях иррациональность успешно исключена из знаменателя, и полученные дроби содержат только рациональные числа в знаменателе.