Для решения данной задачи можно использовать теорему Эйлера о многогранниках, а также учитывать особенности структуры футбольного мяча.
Теорема Эйлера для многогранников гласит, что для любого выпуклого многогранника сумма числа вершин и числа граней минус число рёбер равна 2:
Рассмотрим структуру мяча:
- Пусть — количество пятиугольников ,
- — количество шестиугольников ,
- — общее число лоскутков.
Из условия задачи известно, что .
Каждое ребро многогранника принадлежит двум граням, поэтому суммарное число рёбер у всех лоскутков можно подсчитать, умножив общее количество вершин на 2 и разделив на число вершин, приходящихся на одно ребро:
Каждая вершина пятиугольника граничит с вершинами шестиугольников. Поскольку каждый шестиугольник имеет 6 вершин, а каждый пятиугольник — 5 вершин, и каждая вершина пятиугольника соединена с вершинами шестиугольников, можно использовать следующее соотношение:
Из условия, что каждый белый лоскут граничит с тремя черными , следует, что шестиугольников должно быть меньше, чем пятиугольников. Воспользуемся этим соотношением для нахождения и :
Так как количество пятиугольников должно быть целым числом, мы округляем до ближайшего целого, при этом необходимо проверить, чтобы уравнения были согласованы:
Округляем до ближайшего целого:
Таким образом, получаем, что белых лоскутков 12.