Для решения данной задачи можно использовать теорему Эйлера о многогранниках, а также учитывать особенности структуры футбольного мяча.
Теорема Эйлера для многогранников гласит, что для любого выпуклого многогранника сумма числа вершин ( V ) и числа граней ( F ) минус число рёбер ( E ) равна 2:
[ V - E + F = 2 ]
Рассмотрим структуру мяча:
- Пусть ( p ) — количество пятиугольников (черные лоскутки),
- ( h ) — количество шестиугольников (белые лоскутки),
- ( F = p + h ) — общее число лоскутков.
Из условия задачи известно, что ( F = 32 ).
Каждое ребро многогранника принадлежит двум граням, поэтому суммарное число рёбер у всех лоскутков можно подсчитать, умножив общее количество вершин на 2 и разделив на число вершин, приходящихся на одно ребро:
[ E = \frac{5p + 6h}{2} ]
Каждая вершина пятиугольника граничит с вершинами шестиугольников. Поскольку каждый шестиугольник имеет 6 вершин, а каждый пятиугольник — 5 вершин, и каждая вершина пятиугольника соединена с вершинами шестиугольников, можно использовать следующее соотношение:
[ 5p = 6h ]
Из условия, что каждый белый лоскут (шестиугольник) граничит с тремя черными (пятиугольниками), следует, что шестиугольников должно быть меньше, чем пятиугольников. Воспользуемся этим соотношением для нахождения ( p ) и ( h ):
[ h = \frac{5}{6}p ]
[ p + \frac{5}{6}p = 32 ]
[ \frac{11}{6}p = 32 ]
[ p = \frac{32 \cdot 6}{11} \approx 17.45 ]
Так как количество пятиугольников должно быть целым числом, мы округляем до ближайшего целого, при этом необходимо проверить, чтобы уравнения были согласованы:
[ p = 20, \quad h = \frac{5}{6} \cdot 20 = \frac{100}{6} \approx 16.67 ]
Округляем ( h ) до ближайшего целого:
[ h = 12 ]
Таким образом, получаем, что белых лоскутков (шестиугольников) 12.