Если конфеты раскладывать по 2,3,4, то всегда остается 1 лишняя конфета. А если их раскладывать по 5,...

Для решения данной задачи нужно воспользоваться китайской теоремой об остатках.

Пусть x - общее количество конфет. Тогда можем записать систему уравнений:

x ≡ 1 (mod 2) x ≡ 1 (mod 3) x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 0 (mod 5)

Из первых трех уравнений получаем, что x = 1 (mod 24) - x на 1 больше кратного 24. Также из четвертого уравнения получаем, что x кратно 5. Следовательно, чтобы найти все подходящие значения x, нужно найти все числа, которые при делении на 24 дают остаток 1 и при этом кратны 5.

Таким образом, числа, удовлетворяющие этим условиям и меньшие 50: 1, 25. Таким образом, можно сделать вывод, что было 25 конфет.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти такое количество конфет ( x ), которое удовлетворяет следующим условиям:

1. При делении на 2, 3 и 4 остается остаток 1.
2. При делении на 5 остатка нет.
3. Количество конфет меньше 50.

Давайте разберем каждое из этих условий:

1. Если при делении на 2, 3 и 4 остается остаток 1, то это можно записать в виде системы сравнений: [ x \equiv 1 \pmod{2} ] [ x \equiv 1 \pmod{3} ] [ x \equiv 1 \pmod{4} ]

   Эти условия говорят о том, что ( x - 1 ) должно быть одновременно кратно 2, 3 и 4. Наименьшее общее кратное этих чисел ( \text{НОК}(2, 3, 4) = 12 ). То есть, ( x - 1 ) должно быть кратно 12. Таким образом, можно записать: [ x = 12k + 1 ] для некоторого целого числа ( k ).

2. Кроме того, известно, что при делении на 5 остатка нет: [ x \equiv 0 \pmod{5} ] Это означает, что ( x ) должно быть кратно 5.

Теперь у нас есть два условия для ( x ):

• ( x = 12k + 1 )
• ( x \equiv 0 \pmod{5} )

Для того чтобы ( x \equiv 0 \pmod{5} ), подставим ( x = 12k + 1 ) в это условие: [ 12k + 1 \equiv 0 \pmod{5} ] Упростим это уравнение: [ 12k \equiv -1 \pmod{5} \quad \Rightarrow \quad 12k \equiv 4 \pmod{5} ] Поскольку ( 12 \equiv 2 \pmod{5} ), уравнение становится: [ 2k \equiv 4 \pmod{5} ]

Разделим обе части на 2 (обратный элемент 2 по модулю 5 — это 3, поскольку ( 2 \times 3 \equiv 1 \pmod{5} )): [ k \equiv 2 \pmod{5} ]

Таким образом, ( k = 5m + 2 ) для некоторого целого ( m ).

Подставим ( k = 5m + 2 ) обратно в выражение для ( x ): [ x = 12(5m + 2) + 1 = 60m + 24 + 1 = 60m + 25 ]

Теперь нужно найти ( x < 50 ): [ 60m + 25 < 50 ] [ 60m < 25 ] Так как ( 60m ) не может быть меньше 25 для положительного ( m ), попробуем ( m = 0 ): [ x = 60 \times 0 + 25 = 25 ]

Проверим, удовлетворяет ли 25 всем условиям:

• При делении на 2: ( 25 \div 2 = 12 ) остаток 1.
• При делении на 3: ( 25 \div 3 = 8 ) остаток 1.
• При делении на 4: ( 25 \div 4 = 6 ) остаток 1.
• При делении на 5: ( 25 \div 5 = 5 ) остаток 0.

Все условия выполнены. Таким образом, количество конфет равно 25.

Ответ: 24 конфеты.