Докажите,что ABCD квадрат при a(0;4) b(4;2) c (2;-2) d (-2;0)

Для доказательства, что четырехугольник (ABCD) является квадратом, необходимо проверить несколько условий:

1. Все стороны должны быть равны.
2. Все углы должны быть прямыми (по 90 градусов).
3. Диагонали должны быть равны и пересекаться под прямым углом.

Давайте начнем с проверки равенства сторон. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

Рассчитаем длины всех сторон:

1. Длина стороны (AB): [ AB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

2. Длина стороны (BC): [ BC = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

3. Длина стороны (CD): [ CD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

4. Длина стороны (DA): [ DA = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

Все стороны равны, (AB = BC = CD = DA = 2\sqrt{5}).

Теперь проверим углы. Для этого можно воспользоваться скалярным произведением векторов. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то угол между ними равен 90 градусам.

Векторы:

• (\overrightarrow{AB} = (4 - 0, 2 - 4) = (4, -2))
• (\overrightarrow{BC} = (2 - 4, -2 - 2) = (-2, -4))
• (\overrightarrow{CD} = (2 - (-2), -2 - 0) = (4, -2))
• (\overrightarrow{DA} = (0 - (-2), 4 - 0) = (2, 4))

Проверим скалярные произведения:

1. (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 4 \cdot (-2) + (-2) \cdot (-4) = -8 + 8 = 0)
2. (\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (-2) \cdot 4 + (-4) \cdot (-2) = -8 + 8 = 0)
3. (\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = 4 \cdot 2 + (-2) \cdot 4 = 8 - 8 = 0)
4. (\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = 2 \cdot 4 + 4 \cdot (-2) = 8 - 8 = 0)

Все углы являются прямыми.

Теперь проверим диагонали. Вычислим их длины и проверим, пересекаются ли они под прямым углом:

Диагонали (AC) и (BD): [ AC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} ] [ BD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} ]

Диагонали не равны по длине, но это не является необходимым условием для квадрата. Проверим пересечение под прямым углом:

Векторы:

• (\overrightarrow{AC} = (2 - 0, -2 - 4) = (2, -6))
• (\overrightarrow{BD} = (2 - (-2), -2 - 4) = (4, -6))

Скалярное произведение: [ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 2 \cdot 4 + (-6) \cdot (-6) = 8 + 36 = 44 ]

Скалярное произведение не равно нулю, значит, диагонали не пересекаются под прямым углом.

Следовательно, четырехугольник (ABCD) не является квадратом.

Для доказательства того, что ABCD является квадратом, необходимо проверить выполнение нескольких условий.

1. Для начала, найдем длины сторон квадрата ABCD. Для этого используем формулу длины отрезка между двумя точками в декартовой системе координат:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((4 - 0)^2 + (2 - 4)^2) = √(16 + 4) = √20

BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((2 - 4)^2 + (-2 - 2)^2) = √(4 + 16) = √20

CD = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-2 - 2)^2 + (0 - (-2))^2) = √(16 + 4) = √20

DA = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((0 - (-2))^2 + (4 - 0)^2) = √(4 + 16) = √20

1. Теперь проверим, что все углы квадрата ABCD равны 90 градусов. Для этого воспользуемся формулой нахождения угла между двумя векторами:

Угол между AB и BC: cos(∠ABC) = (AB BC) / (|AB| |BC|) = ((4 2) + (2 -2)) / (√20 * √20) = (8 - 4) / 20 = 4 / 20 = 0.2

Угол между BC и CD: cos(∠BCD) = (BC CD) / (|BC| |CD|) = ((2 -2) + (-2 0)) / (√20 * √20) = (-4 + 0) / 20 = -4 / 20 = -0.2

Угол между CD и DA: cos(∠CDA) = (CD DA) / (|CD| |DA|) = ((-2 0) + (0 4)) / (√20 * √20) = 0 / 20 = 0

Угол между DA и AB: cos(∠DAB) = (DA AB) / (|DA| |AB|) = ((0 4) + (4 2)) / (√20 * √20) = (0 + 8) / 20 = 8 / 20 = 0.4

Таким образом, все углы квадрата ABCD не равны 90 градусам, значит, ABCD не является квадратом.

Для доказательства, что четырехугольник ABCD является квадратом, необходимо показать, что все его стороны равны между собой и углы прямые. Для этого можно использовать теорему о квадратах, которая утверждает, что если диагонали квадрата равны и перпендикулярны, то это квадрат.