Докажите ,что функция f(x) нечётная ,если f(x)=8sin3x-2x^5(с решение пожалуйста )

Функция ( f(x) ) называется нечётной, если для всех ( x ) из области определения функции выполняется равенство ( f(-x) = -f(x) ).

Для доказательства того, что функция ( f(x) = 8\sin(3x) - 2x^5 ) нечётная, проверим это условие.

1. Найдем ( f(-x) ): [ f(-x) = 8\sin(3(-x)) - 2(-x)^5 = 8\sin(-3x) - 2(-x)^5. ]

2. Учитывая свойства синуса и степенной функции:

   • Синус является нечетной функцией, т.е. ( \sin(-3x) = -\sin(3x) ).
   • Пятая степень ( (-x)^5 ) для нечетной степени также будет нечетной, т.е. ( (-x)^5 = -x^5 ).

   Тогда подставляем свойства: [ f(-x) = 8(-\sin(3x)) - 2(-x^5) = -8\sin(3x) + 2x^5. ]

3. Теперь посмотрим на выражение ( -f(x) ): [ -f(x) = -(8\sin(3x) - 2x^5) = -8\sin(3x) + 2x^5. ]

4. Сравниваем ( f(-x) ) и ( -f(x) ): [ f(-x) = -8\sin(3x) + 2x^5 = -f(x). ]

Так как ( f(-x) = -f(x) ) выполняется для всех ( x ), мы можем заключить, что функция ( f(x) = 8\sin(3x) - 2x^5 ) действительно является нечетной функцией.

Функция f(x) нечётная, если для любого x из области определения выполняется условие f(-x) = -f(x).

f(x) = 8sin(3x) - 2x^5

f(-x) = 8sin(-3x) - 2(-x)^5 f(-x) = 8sin(-3x) + 2x^5

Так как sin(-x) = -sin(x), то f(-x) = 8(-sin(3x)) + 2x^5

Таким образом, f(-x) = -8sin(3x) + 2x^5 = -f(x)

Поэтому функция f(x) является нечётной.

Для доказательства того, что функция f(x) является нечётной необходимо показать, что f(-x) = -f(x) для любого x.

Исходная функция f(x) = 8sin(3x) - 2x^5.

Вычислим f(-x): f(-x) = 8sin(-3x) - 2(-x)^5 f(-x) = 8sin(-3x) + 2x^5 f(-x) = 8(-sin(3x)) + 2x^5 f(-x) = -8sin(3x) + 2x^5

Теперь проверим, что f(-x) = -f(x): -f(x) = -[8sin(3x) - 2x^5] = -8sin(3x) + 2x^5

Таким образом, f(-x) = -f(x), что означает, что данная функция f(x) является нечётной.