Докажите, что четырёхугольник с вершинами А(1;4;3),В(2;3;5),С(2;5;1) и Д(3;4;3)-параллерограмм. Вычислите...

Для доказательства параллелограммности четырёхугольника необходимо показать, что вектор, соединяющий вершины А и В равен вектору, соединяющему вершины С и Д, а также вектор, соединяющий вершины А и Д равен вектору, соединяющему вершины В и С.

Для нахождения внутреннего угла при вершине Д можно воспользоваться формулой для косинуса угла между векторами:

cos(угол) = (AB AD) / (|AB| |AD|),

где AB и AD - векторы, соединяющие вершины А и В, А и Д, |AB| и |AD| - их длины.

Подставляем координаты данных векторов, найдем их длины и вычисляем угол.

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, необходимо убедиться, что противоположные стороны параллельны.

Для этого вычислим векторы, соединяющие вершины:

AB = В - А = (2 - 1; 3 - 4; 5 - 3) = (1; -1; 2) AD = Д - А = (3 - 1; 4 - 4; 3 - 3) = (2; 0; 0) BC = С - В = (2 - 2; 5 - 3; 1 - 5) = (0; 2; -4) CD = Д - С = (3 - 2; 4 - 5; 3 - 1) = (1; -1; 2)

Теперь проверим, что векторы AB и CD равны, а также векторы AD и BC равны.

AB = CD, AD = BC, следовательно, стороны параллельны.

Теперь найдем внутренний угол при вершине Д. Для этого воспользуемся формулой для нахождения угла между векторами:

cos(θ) = (AB AD) / (|AB| |AD|)

где AB * AD - скалярное произведение векторов, |AB| и |AD| - длины векторов.

AB AD = 1 2 + (-1) 0 + 2 0 = 2 |AB| = √(1^2 + (-1)^2 + 2^2) = √6 |AD| = √(2^2 + 0^2 + 0^2) = 2

cos(θ) = 2 / (2 * √6) = 1 / √6

θ = arccos(1 / √6) ≈ 54.74 градуса

Таким образом, внутренний угол при вершине Д составляет около 54.74 градуса.

Для доказательства того, что четырёхугольник является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны параллельны и равны. Мы будем использовать векторный метод и свойства векторов.

1. Найдем векторы сторон четырёхугольника:

   [ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 1, 3 - 4, 5 - 3) = (1, -1, 2) ]

   [ \overrightarrow{CD} = D - C = (3 - 2, 4 - 5, 3 - 1) = (1, -1, 2) ]

   [ \overrightarrow{BC} = C - B = (2 - 2, 5 - 3, 1 - 5) = (0, 2, -4) ]

   [ \overrightarrow{DA} = A - D = (1 - 3, 4 - 4, 3 - 3) = (-2, 0, 0) ]

2. Проверим параллельность и равенство противоположных сторон:

   Векторы (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{CD}) равны: ((1, -1, 2) = (1, -1, 2)). Это означает, что стороны (AB) и (CD) равны и параллельны.

   Векторы (\overrightarrow{BC}) и (\overrightarrow{DA}) параллельны, так как (\overrightarrow{DA} = -1 \cdot (0, 2, -4)). Это также означает, что стороны (BC) и (DA) равны по длине и параллельны.

Поскольку противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, четырёхугольник является параллелограммом.

1. Вычислим внутренний угол при вершине D:

   Для этого используем скалярное произведение векторов (\overrightarrow{CD}) и (\overrightarrow{DA}):

   [ \overrightarrow{CD} = (1, -1, 2), \quad \overrightarrow{DA} = (-2, 0, 0) ]

   Скалярное произведение:

   [ \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 0 = -2 ]

   Длины векторов:

   [ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6} ]

   [ |\overrightarrow{DA}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 0^2} = 2 ]

   Косинус угла (\theta) между векторами:

   [ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA}}{|\overrightarrow{CD}| \cdot |\overrightarrow{DA}|} = \frac{-2}{\sqrt{6} \cdot 2} = \frac{-1}{\sqrt{6}} ]

   Угол (\theta):

   [ \theta = \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{6}}\right) ]

Таким образом, угол при вершине D равен (\theta = \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{6}}\right)).