Даны векторы а(-2;-2;1) и b(0;-4;3) Найдите 1 вектор с=4а+1/3b 2 {a+b}*{a-b} 3 Косинус угла между векторами...

1) Вектор c = 4а + 1/3b = 4(-2;-2;1) + 1/3(0;-4;3) = (-8; -8; 4) + (0; -4/3; 1) = (-8; -8 - 4/3; 4 + 1) = (-8; -32/3; 5)

2) (a + b) (a - b) = (-2;-2;1) + (0;-4;3) (-2;-2;1) - (0;-4;3) = ((-20 - 2(-4) + 13); (-20 - 14 + 13); (-23 - 23 + 1*1)) = (8; -1; -7)

3) Для нахождения косинуса угла между векторами a и b воспользуемся формулой: cos(θ) = (a b) / (|a| |b|), где a * b - скалярное произведение векторов, |a| и |b| - длины векторов.

a b = (-2 0) + (-2 -4) + (1 3) = 0 + 8 + 3 = 11 |a| = sqrt((-2)^2 + (-2)^2 + 1^2) = sqrt(4 + 4 + 1) = sqrt(9) = 3 |b| = sqrt(0^2 + (-4)^2 + 3^2) = sqrt(0 + 16 + 9) = sqrt(25) = 5

cos(θ) = 11 / (3 * 5) = 11 / 15

Ответ: cos(θ) = 11/15.

Для решения этих задач воспользуемся алгебраическими операциями с векторами.

1. Найдем вектор c = 4a + 1/3b. Вектор a = (-2; -2; 1), вектор b = (0; -4; 3). Сначала умножим вектор a на 4: ( 4a = 4 \cdot (-2; -2; 1) = (-8; -8; 4) ). Затем умножим вектор b на 1/3: ( \frac{1}{3}b = \frac{1}{3} \cdot (0; -4; 3) = (0; -\frac{4}{3}; 1) ). Теперь сложим полученные векторы: ( c = (-8; -8; 4) + (0; -\frac{4}{3}; 1) = (-8; -\frac{28}{3}; 5) ). Итак, ( c = (-8; -\frac{28}{3}; 5) ).

2. *Вычислим скалярное произведение (a + b) (a - b).** Сначала найдем вектора a + b и a - b: ( a + b = (-2; -2; 1) + (0; -4; 3) = (-2; -6; 4) ), ( a - b = (-2; -2; 1) - (0; -4; 3) = (-2; 2; -2) ). Теперь вычислим их скалярное произведение: ( (a + b) (a - b) = (-2; -6; 4) (-2; 2; -2) = (-2)(-2) + (-6)(2) + (4)(-2) = 4 - 12 - 8 = -16 ).

3. Найдем косинус угла между векторами a и b. Косинус угла между векторами можно найти по формуле: ( \cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} ), где ( a \cdot b ) — скалярное произведение векторов, ( |a| ) и ( |b| ) — их длины. Скалярное произведение: ( a \cdot b = (-2; -2; 1) \cdot (0; -4; 3) = (-2)(0) + (-2)(-4) + (1)(3) = 0 + 8 + 3 = 11 ). Длина вектора a: ( |a| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 ). Длина вектора b: ( |b| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5 ). Таким образом, косинус угла между векторами: ( \cos(\theta) = \frac{11}{3 \cdot 5} = \frac{11}{15} ).

Итак, ответы:

1. Вектор c = (-8; -\frac{28}{3}; 5).
2. Скалярное произведение (a + b) * (a - b) = -16.
3. Косинус угла между векторами a и b = ( \frac{11}{15} ).

1. Вектор c = (-8; -8; 4) + (0; -4; 3) = (-8; -12; 7)
2. (a + b) * (a - b) = a^2 - b^2 = (-2; -2; 1)^2 - (0; -4; 3)^2 = (4; 4; 1) - (0; 16; 9) = (4; -12; -8)
3. Косинус угла между векторами a и b: cos(θ) = (a b) / (|a| |b|) = ((-2)(0) + (-2)(-4) + (1)(3)) / (√((-2)^2 + (-2)^2 + (1)^2) √((0)^2 + (-4)^2 + (3)^2)) = (-8 + 8 + 3) / (√9 √25) = 3 / 15 = 1 / 5.