Даны точки координатной прямой А(3) В(12) и точка N. Определите координату точки N, если: а) точка N...

Для решения задачи используем понятие деления отрезка в заданном отношении. Если точка ( N ) делит отрезок ( AB ) в отношении ( m:n ), то координата точки ( N ) вычисляется по формуле:

[ x_N = \frac{m \cdot x_B + n \cdot x_A}{m + n}, ]

где:

• ( x_A ) и ( x_B ) — координаты точек ( A ) и ( B ),
• ( m ) и ( n ) — части отношения, в котором делится отрезок.

Часть (а): Точка ( N ) расположена между точками ( A ) и ( B ), и ( AN:BN = 1:5 ).

В этом случае точка ( N ) делит отрезок ( AB ) в отношении ( 1:5 ). Это означает, что отрезок ( AN ) короче, а ( N ) находится ближе к ( A ).

Используем формулу для деления отрезка:

[ x_N = \frac{1 \cdot x_B + 5 \cdot x_A}{1 + 5}. ]

Подставляем значения координат ( x_A = 3 ) и ( x_B = 12 ):

[ x_N = \frac{1 \cdot 12 + 5 \cdot 3}{1 + 5}. ]

Считаем:

[ x_N = \frac{12 + 15}{6} = \frac{27}{6} = 4.5. ]

Таким образом, координата точки ( N ):

[ x_N = 4.5. ]

Точка ( N ) находится между ( A ) и ( B ), ближе к ( A ).

Часть (б): Точка ( N ) расположена вне отрезка ( AB ), и ( AN:BN = 4:1 ).

В этом случае точка ( N ) находится за пределами отрезка ( AB ). Отношение ( AN:BN = 4:1 ) означает, что расстояние от ( N ) до ( A ) в 4 раза больше, чем расстояние от ( N ) до ( B ).

Разберём случай, когда ( N ) находится слева от ( A ):

В такой ситуации точка ( N ) всё ещё делит отрезок в отношении ( 4:1 ), но мы используем отрицательную длину отрезка ( AN ), так как ( N ) находится вне отрезка.

Используем ту же формулу:

[ x_N = \frac{4 \cdot x_B + 1 \cdot x_A}{4 + 1}. ]

Подставляем значения ( x_A = 3 ), ( x_B = 12 ):

[ x_N = \frac{4 \cdot 12 + 1 \cdot 3}{4 + 1}. ]

Считаем:

[ x_N = \frac{48 + 3}{5} = \frac{51}{5} = 10.2. ]

Для решения задачи определим координату точки N в каждом из случаев.

а) Точка N расположена между точками A и B, и AН:BN = 1:5.

1. Обозначим координату точки N как ( x ).
2. Расстояние ( AN ) будет равно ( x - 3 ), а расстояние ( BN ) будет равно ( 12 - x ).
3. Условие AН:BN = 1:5 можно записать как: [ \frac{x - 3}{12 - x} = \frac{1}{5} ]
4. Умножим обе стороны на ( 5(12 - x) ): [ 5(x - 3) = 12 - x ]
5. Раскроем скобки и соберем подобные: [ 5x - 15 = 12 - x \implies 6x = 27 \implies x = 4.5 ]

Таким образом, координата точки N равна ( 4.5 ).

б) Точка N расположена вне отрезка AB, и AН:BN = 4:1.

1. В этом случае точка N может находиться либо левее точки A, либо правее точки B. Рассмотрим оба варианта.

Случай 1: N левее A.

• Тогда расстояние ( AN ) будет равно ( 3 - x ), а ( BN ) будет равно ( 12 - x ).
• Условие AН:BN = 4:1: [ \frac{3 - x}{12 - x} = \frac{4}{1} ]
• Умножим обе стороны на ( 12 - x ): [ 3 - x = 4(12 - x) \implies 3 - x = 48 - 4x ]
• Переносим все в одну сторону: [ 3 + 4x = 48 + x \implies 3 + 3x = 48 \implies 3x = 45 \implies x = 15 ]

Случай 2: N правее B.

• Тогда расстояние ( AN ) будет равно ( x - 3 ), а ( BN ) будет равно ( x - 12 ).
• Условие AН:BN = 4:1: [ \frac{x - 3}{x - 12} = \frac{4}{1} ]
• Умножим обе стороны на ( x - 12 ): [ x - 3 = 4(x - 12) \implies x - 3 = 4x - 48 ]
• Переносим все в одну сторону: [ -3 + 48 = 4x - x \implies 45 = 3x \implies x = 15 ]

Таким образом, в обоих случаях мы приходим к ( x = 15 ).

Итак, в случае (а) координата точки N равна ( 4.5 ), а в случае (б) — ( 15 ).

Давайте разберем оба случая по отдельности.

a) Точка N расположена между точками A и B, и AН: BН = 1:5

1. Определим расстояние между точками A и B:

   • Координаты точек: A(3) и B(12).
   • Расстояние AB = B - A = 12 - 3 = 9.

2. Определим, сколько частей составляет отрезок AN:

   • Если AН: BН = 1:5, то всего частей 1 + 5 = 6.
   • Доля AN = 1/6 (от всего отрезка AB).

3. Найдем длину отрезка AN:

   • Длина AN = 1/6 AB = 1/6 9 = 1.5.

4. Определим координату точки N:

   • Точка N находится на отрезке AB и ближе к A.
   • Поэтому координата N = A + AN = 3 + 1.5 = 4.5.

Таким образом, координата точки N в этом случае равна 4.5.

б) Точка N расположена вне отрезка AB, и AН: BН = 4:1

1. Определим расстояние между точками A и B:

   • Как уже было установлено, AB = 9.

2. Определим, сколько частей составляет отрезок AN:

   • Если AН: BН = 4:1, то всего частей 4 + 1 = 5.
   • Доля AN = 4/5 (от всего отрезка AB).

3. Найдем длину отрезка AN:

   • Длина AN = 4/5 AB = 4/5 9 = 7.2.

4. Определим координату точки N:

   • Поскольку точка N расположена вне отрезка AB и ближе к A, то:
     • N = A - AN = 3 - 7.2 = -4.2 (это левее точки A).

Таким образом, координата точки N в этом случае равна -4.2.

Результаты:

• a) N = 4.5
• б) N = -4.2