Дано вектори a(0;-4),b(-6;0),c(-12;8). знайдіть : а) вектор m=2a - 3b +c і його довжину; б)кут між векторами...

а) Вычислим вектор m: m = 2a - 3b + c m = 2(0;-4) - 3(-6;0) + (-12;8) m = (0; -8) - (-18;0) + (-12;8) m = (0; -8) + (18;0) + (-12;8) m = (6;0)

Длина вектора m: | m | = sqrt((6)^2 + (0)^2) | m | = sqrt(36 + 0) | m | = sqrt(36) | m | = 6

Ответ: вектор m = (6;0), его длина равна 6.

б) Найдем угол между векторами a и b по формуле скалярного произведения: cos(θ) = (a b) / (|a| |b|)

Где a * b - скалярное произведение векторов a и b, |a| и |b| - длины векторов a и b.

Сначала найдем скалярное произведение векторов a и b: a b = 0(-6) + (-4)*0 = 0

Теперь найдем длины векторов a и b: |a| = sqrt(0^2 + (-4)^2) = sqrt(0 + 16) = 4 |b| = sqrt((-6)^2 + 0^2) = sqrt(36 + 0) = 6

Подставим все значения в формулу для нахождения угла: cos(θ) = 0 / (4 * 6) cos(θ) = 0 / 24 cos(θ) = 0

θ = arccos(0) θ = 90°

Ответ: угол между векторами a и b равен 90 градусов.

а) Вектор m = 2a - 3b + c = 2(0;-4) - 3(-6;0) + (-12;8) = (0;-8) + (18;0) + (-12;8) = (6;0). Довжина вектора m = √(6^2 + 0^2) = √36 = 6.

б) Кут між векторами a і b можна знайти за формулою: cos(θ) = (a • b) / (|a| |b|), де a • b - скалярний добуток векторів a і b, |a| - довжина вектора a, |b| - довжина вектора b. Розрахуємо: a • b = 0(-6) + (-4)0 = 0, |a| = √(0^2 + (-4)^2) = 4, |b| = √((-6)^2 + 0^2) = 6. Отже, cos(θ) = 0 / (4 6) = 0, тобто кут між векторами a і b дорівнює 90 градусів.

Для того щоб знайти вектор ( \mathbf{m} ) та його довжину, а також кут між векторами ( \mathbf{a} ) та ( \mathbf{b} ), виконаємо наступні кроки.

а) Знайдемо вектор ( \mathbf{m} ):

1. Для початку обчислимо вектори ( 2\mathbf{a} ) і ( -3\mathbf{b} ):

[ 2\mathbf{a} = 2 \cdot (0, -4) = (0, -8) ]

[ -3\mathbf{b} = -3 \cdot (-6, 0) = (18, 0) ]

1. Далі складемо вектори ( 2\mathbf{a} ), ( -3\mathbf{b} ) та ( \mathbf{c} ):

[ \mathbf{m} = 2\mathbf{a} - 3\mathbf{b} + \mathbf{c} = (0, -8) + (18, 0) + (-12, 8) ]

1. Знайдемо компоненти вектора ( \mathbf{m} ):

[ \mathbf{m}_x = 0 + 18 - 12 = 6 ]

[ \mathbf{m}_y = -8 + 0 + 8 = 0 ]

Отже, вектор ( \mathbf{m} = (6, 0) ).

1. Знайдемо довжину (модуль) вектора ( \mathbf{m} ):

[ |\mathbf{m}| = \sqrt{\mathbf{m}_x^2 + \mathbf{m}_y^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 ]

б) Знайдемо кут між векторами ( \mathbf{a} ) і ( \mathbf{b} ):

1. Скористаємося формулою для косинуса кута між двома векторами:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|} ]

1. Знайдемо скалярний добуток ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ):

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (0 \cdot -6) + (-4 \cdot 0) = 0 ]

1. Знайдемо модулі векторів ( \mathbf{a} ) і ( \mathbf{b} ):

[ |\mathbf{a}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4 ]

[ |\mathbf{b}| = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 ]

1. Підставимо знайдені значення у формулу для косинуса кута:

[ \cos \theta = \frac{0}{4 \cdot 6} = 0 ]

1. Знайдемо кут ( \theta ):

[ \theta = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \text{ рад} = 90^\circ ]

Отже, кут між векторами ( \mathbf{a} ) і ( \mathbf{b} ) дорівнює ( 90^\circ ).