Дано вектори a$0;-4$,b$-6;0$,c$-12;8$. знайдіть : а) вектор m=2a - 3b +c і його довжину; б)кут між векторами...

а) Вычислим вектор m: m = 2a - 3b + c m = 2$0;-4$ - 3$-6;0$ + $-12;8$ m = $0;-8$ - $-18;0$ + $-12;8$ m = $0;-8$ + $18;0$ + $-12;8$ m = $6;0$

Длина вектора m: | m | = sqrt$(6$^2 + $0$^2) | m | = sqrt$36+0$ | m | = sqrt$36$ | m | = 6

Ответ: вектор m = $6;0$, его длина равна 6.

б) Найдем угол между векторами a и b по формуле скалярного произведения: cos$\theta$ = (a b) / (|a| |b|)

Где a * b - скалярное произведение векторов a и b, |a| и |b| - длины векторов a и b.

Сначала найдем скалярное произведение векторов a и b: a b = 0$-6$ + $-4$*0 = 0

Теперь найдем длины векторов a и b: |a| = sqrt$0^2+(-4$^2) = sqrt$0+16$ = 4 |b| = sqrt$(-6$^2 + 0^2) = sqrt$36+0$ = 6

Подставим все значения в формулу для нахождения угла: cos$\theta$ = 0 / $4\ast 6$ cos$\theta$ = 0 / 24 cos$\theta$ = 0

θ = arccos$0$ θ = 90°

Ответ: угол между векторами a и b равен 90 градусов.

а) Вектор m = 2a - 3b + c = 2$0;-4$ - 3$-6;0$ + $-12;8$ = $0;-8$ + $18;0$ + $-12;8$ = $6;0$. Довжина вектора m = √$6^2+0^2$ = √36 = 6.

б) Кут між векторами a і b можна знайти за формулою: cos$\theta$ = $a•b$ / (|a| |b|), де a • b - скалярний добуток векторів a і b, |a| - довжина вектора a, |b| - довжина вектора b. Розрахуємо: a • b = 0$-6$ + $-4$0 = 0, |a| = √$0^2+(-4$^2) = 4, |b| = √$(-6$^2 + 0^2) = 6. Отже, cos$\theta$ = 0 / (4 6) = 0, тобто кут між векторами a і b дорівнює 90 градусів.

Для того щоб знайти вектор $\mathbf{m}$ та його довжину, а також кут між векторами $\mathbf{a}$ та $\mathbf{b}$, виконаємо наступні кроки.

а) Знайдемо вектор $\mathbf{m}$:

1. Для початку обчислимо вектори $2\mathbf{a}$ і $-3\mathbf{b}$:

$2\mathbf{a}=2\cdot (0,-4)=(0,-8)$

$-3\mathbf{b}=-3\cdot (-6,0)=(18,0)$

1. Далі складемо вектори $2\mathbf{a}$, $-3\mathbf{b}$ та $\mathbf{c}$:

$\mathbf{m}=2\mathbf{a}-3\mathbf{b}+\mathbf{c}=(0,-8)+(18,0)+(-12,8)$

1. Знайдемо компоненти вектора $\mathbf{m}$:

${\mathbf{m}}_x=0+18-12=6$

${\mathbf{m}}_y=-8+0+8=0$

Отже, вектор $\mathbf{m}=(6,0$ ).

1. Знайдемо довжину $модуль$ вектора $\mathbf{m}$:

$|\mathbf{m}|=\sqrt{{\mathbf{m}}_x^2+{\mathbf{m}}_y^2}=\sqrt{6^2+0^2}=\sqrt{36}=6$

б) Знайдемо кут між векторами $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$:

1. Скористаємося формулою для косинуса кута між двома векторами:

$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|}$

1. Знайдемо скалярний добуток $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=(0\cdot -6)+(-4\cdot 0)=0$

1. Знайдемо модулі векторів $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$:

$|\mathbf{a}|=\sqrt{0^2+(-4{)}^2}=\sqrt{16}=4$

$|\mathbf{b}|=\sqrt{(-6{)}^2+0^2}=\sqrt{36}=6$

1. Підставимо знайдені значення у формулу для косинуса кута:

$\cos \theta =\frac{0}{4\cdot 6}=0$

1. Знайдемо кут $\theta$:

$\theta =\arccos (0)=\frac{\pi }{2}\text{ рад}={90}^{\circ }$

Отже, кут між векторами $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$ дорівнює ${90}^{\circ }$.