Бросают две игральные кости и рассматриваются события:1) А-на первой кости выпало число 6, В- на второй...

Для определения независимости событий ( A ) и ( B ) воспользуемся формулой независимости событий. Два события ( A ) и ( B ) считаются независимыми, если выполняется следующее условие:

[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) ]

Рассмотрим оба случая отдельно.

Случай 1:

1. ( A ) — на первой кости выпало число 6.
2. ( B ) — на второй кости выпало четное число.

Вероятность события ( A ):

На первой кости всего 6 граней, и только одна из них имеет число 6.

[ P(A) = \frac{1}{6} ]

Вероятность события ( B ):

На второй кости числа 2, 4 и 6 являются четными. То есть, 3 из 6 граней.

[ P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ]

Совместная вероятность ( P(A \cap B) ):

На первой кости должно выпасть число 6, а на второй кости — одно из четных чисел (2, 4 или 6). Общее количество благоприятных исходов — 3 (6,2), (6,4), (6,6).

[ P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} ]

Проверка независимости:

Проверяем, выполняется ли условие независимости:

[ P(A \cap B) = \frac{1}{12} ] [ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12} ]

Так как ( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) ), события ( A ) и ( B ) независимы.

Случай 2:

1. ( A ) — на первой кости выпало нечетное число.
2. ( B ) — на второй кости выпало число, кратное 3.

Вероятность события ( A ):

На первой кости нечетные числа — 1, 3 и 5. То есть, 3 из 6 граней.

[ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ]

Вероятность события ( B ):

На второй кости числа 3 и 6 кратны 3. То есть, 2 из 6 граней.

[ P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} ]

Совместная вероятность ( P(A \cap B) ):

На первой кости должно выпасть одно из нечетных чисел (1, 3 или 5), а на второй кости — одно из чисел, кратных 3 (3 или 6). Общее количество благоприятных исходов — 6 (1,3), (1,6), (3,3), (3,6), (5,3), (5,6).

[ P(A \cap B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} ]

Проверка независимости:

Проверяем, выполняется ли условие независимости:

[ P(A \cap B) = \frac{1}{6} ] [ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} ]

Так как ( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) ), события ( A ) и ( B ) независимы.

Таким образом, в обоих случаях события ( A ) и ( B ) являются независимыми.

Для того чтобы убедиться в независимости событий А и В, нужно проверить равенство условной вероятности совместного события (А и В) произведению вероятностей событий А и В: P(А и В) = P(А) P(В) 1) P(А и В) = P(6) P(четное число) = 1/6 3/6 = 1/12 2) P(А и В) = P(нечетное число) P(число кратное 3) = 3/6 * 2/6 = 1/6 Так как условная вероятность совместного события (А и В) равна произведению вероятностей событий А и В, то события А и В являются независимыми.

Для того чтобы убедиться в независимости событий А и В, нужно проверить выполнение формулы для независимых событий: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

1) Событие А: на первой кости выпало число 6. Вероятность выпадения числа 6 на кубике равна 1/6. P(A) = 1/6

Событие В: на второй кости выпало четное число. Четные числа на кубике - 2, 4, 6. Вероятность выпадения четного числа на кубике равна 3/6 = 1/2. P(B) = 1/2

Событие A ∩ B: на первой кости выпало число 6 и на второй кости выпало четное число. Единственное число, которое выполняет оба условия - число 6. Вероятность этого события равна 1/36. P(A ∩ B) = 1/36

Теперь вычислим произведение вероятностей событий A и B: P(A) P(B) = (1/6) (1/2) = 1/12

Так как P(A ∩ B) не равно P(A) * P(B), события А и В не являются независимыми.