Байдарка в 7:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 40 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 23:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость байдарки равна 6 км/ч.
Для решения задачи сначала определим общее время, которое байдарка была в пути. Байдарка начала движение в 7:00 и вернулась в 23:00, значит, общее время суток составляет 16 часов. Однако, 2 часа 40 минут байдарка провела в пункте В, не двигаясь. Таким образом, время в пути составляет 16 часов - 2 часа 40 минут = 13 часов 20 минут или, в десятичном виде, 13.33 часа.
Байдарка проплыла расстояние от А до В и обратно, то есть 30 км туда и 30 км обратно, всего 60 км. Теперь можно найти среднюю скорость байдарки за весь путь: [ \text{Средняя скорость} = \frac{\text{Общее расстояние}}{\text{Общее время}} = \frac{60 \text{ км}}{13.33 \text{ часа}} \approx 4.5 \text{ км/ч} ]
Теперь рассмотрим движение байдарки на воде с учетом течения реки. Пусть скорость течения реки равна ( v ) км/ч. Тогда скорость байдарки по течению реки будет ( 6 + v ) км/ч, а против течения реки — ( 6 - v ) км/ч.
Зная, что расстояние в одну сторону равно 30 км, можно записать время, затраченное на путь туда и обратно: [ \text{Время туда} = \frac{30}{6 + v} ] [ \text{Время обратно} = \frac{30}{6 - v} ]
Общее время в пути должно быть равно 13.33 часа: [ \frac{30}{6 + v} + \frac{30}{6 - v} = 13.33 ]
Умножим обе части уравнения на ( (6 + v)(6 - v) ), чтобы избавиться от знаменателей: [ 30(6 - v) + 30(6 + v) = 13.33(36 - v^2) ] [ 180 - 30v + 180 + 30v = 479.88 - 13.33v^2 ] [ 360 = 479.88 - 13.33v^2 ]
Перенесем все члены в одну сторону: [ 13.33v^2 = 479.88 - 360 ] [ 13.33v^2 = 119.88 ] [ v^2 = \frac{119.88}{13.33} \approx 9 ] [ v = \sqrt{9} = 3 \text{ км/ч} ]
Следовательно, скорость течения реки равна 3 км/ч.
Пусть скорость течения реки равна V км/ч. Тогда при движении в сторону пункта В (с учетом течения) байдарка пройдет расстояние в 30 км за время t1 = 30 / (6 + V) часов. При движении обратно (против течения) байдарка пройдет это же расстояние за время t2 = 30 / (6 - V) часов. Из условия задачи известно, что сумма времен t1 и t2 равна 16 часов, т.е. t1 + t2 = 16. Подставим выражения для t1 и t2: 30 / (6 + V) + 30 / (6 - V) = 16. Решив это уравнение, найдем значение V: 30(6 - V) + 30(6 + V) = 16(6 + V)(6 - V) 180 - 30V + 180 + 30V = 16(36 - V^2) 360 = 576 - 16V^2 16V^2 = 216 V^2 = 13.5 V = √13.5 ≈ 3.68 Итак, скорость течения реки равна примерно 3.68 км/ч.
