A)Решите уравнение cosx+√3sin(3pi/2 -x/2)+1=0 б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-4pi;-5pi/2]

A) Решение уравнения cosx + √3sin(3π/2 - x/2) + 1 = 0: x = 2π/3 или x = 4π/3.

B) Корни уравнения на отрезке [-4π; -5π/2]: x = -5π/3.

Решим уравнение ( \cos x + \sqrt{3} \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) + 1 = 0 ).

Решение уравнения:

1. Перепишем данное уравнение: [ \cos x + \sqrt{3} \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) + 1 = 0 ]

2. Упростим выражение ( \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) ):

   Используем формулу приведения для синуса: [ \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) = -\cos \left( \frac{x}{2} \right) ]

   Следовательно, уравнение примет вид: [ \cos x - \sqrt{3} \cos \left( \frac{x}{2} \right) + 1 = 0 ]

3. Теперь рассмотрим ( \cos x ) и ( \cos \left( \frac{x}{2} \right) ):

   Используем формулу двойного угла для косинуса: [ \cos x = 2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) - 1 ]

   Подставим это в уравнение: [ 2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) - 1 - \sqrt{3} \cos \left( \frac{x}{2} \right) + 1 = 0 ]

   Упростим: [ 2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) - \sqrt{3} \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0 ]

4. Вынесем общий множитель за скобки: [ \cos \left( \frac{x}{2} \right) \left( 2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) - \sqrt{3} \right) = 0 ]

   Это уравнение равносильно системе: [ \begin{cases} \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0 \ 2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) - \sqrt{3} = 0 \end{cases} ]

5. Рассмотрим каждый случай отдельно:

   1. ( \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0 ) [ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad \Rightarrow \quad x = \pi + 2\pi k ] где ( k ) — целое число.

   2. ( 2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) = \sqrt{3} ) [ \cos \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi k ] где ( k ) — целое число.

Найдем корни на отрезке ([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]):

1. Для первого случая: [ x = \pi + 2\pi k ]

   Найдем ( k ), чтобы ( x ) принадлежало ([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]): [ -4\pi \leq \pi + 2\pi k \leq -\frac{5\pi}{2} ] [ -5 \leq 2k \leq -3 ] [ -2.5 \leq k \leq -1.5 ]

   Возможное значение ( k = -2 ): [ x = \pi + 2\pi(-2) = \pi - 4\pi = -3\pi ]

2. Для второго случая: [ x = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi k ]

   Рассмотрим оба варианта:

   [ x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k ] [ -4\pi \leq \frac{\pi}{3} + 4\pi k \leq -\frac{5\pi}{2} ] [ -\frac{13}{12} \leq k \leq -\frac{7}{12} ]

   Нет целых значений ( k ).

   Второй вариант: [ x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k ] [ -4\pi \leq -\frac{\pi}{3} + 4\pi k \leq -\frac{5\pi}{2} ] [ -\frac{11}{12} \leq k \leq -\frac{5}{12} ]

   Нет целых значений ( k ).

Ответ:

Корень уравнения, принадлежащий отрезку ([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]), это ( x = -3\pi ).

a) Найдем корни уравнения cosx + √3sin(3π/2 - x/2) + 1 = 0.

Подставим значение угла 3π/2 - x/2 вместо x в выражение √3sin(3π/2 - x/2): √3sin(3π/2 - x/2) = √3sin(3π/2 - x/2) = √3(-sin(x/2)) = -√3sin(x/2)

Теперь перепишем уравнение с учетом этого: cosx - √3sin(x/2) + 1 = 0

Можно переписать уравнение в виде: cosx + sin(x/2) + 1 = 0

Поскольку cosx = cos(x + 2πk), а sin(x/2) = sin(x/2 + 4πk), где k - целое число, то уравнение можно переписать в виде: cos(x + 2πk) + sin(x/2 + 4πk) + 1 = 0

Теперь подбираем значения k так, чтобы уравнение приняло вид, удобный для решения.

b) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2].

На данном отрезке 0 > x > -π, значит sin(x/2) < 0, а cosx > 0.

Таким образом, уравнение принимает вид: cosx - √3sin(x/2) + 1 = 0

На отрезке [-4π; -5π/2] это уравнение не имеет корней.