Arctg 1/корень из 3 + arctg корень из 3

Для решения данного выражения воспользуемся формулой суммы арктангенсов:

arctg(a) + arctg(b) = arctg((a + b) / (1 - ab))

В данном случае имеем a = 1/√3 и b = √3. Подставляем значения и получаем:

arctg(1/√3) + arctg(√3) = arctg((1/√3 + √3) / (1 - 1/√3 * √3)) arctg(1/√3) + arctg(√3) = arctg((1 + 3) / (1 - 1)) arctg(1/√3) + arctg(√3) = arctg(4/0) arctg(1/√3) + arctg(√3) = π/2

Таким образом, arctg(1/√3) + arctg(√3) = π/2.

π/3

Чтобы найти значение выражения (\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \arctan(\sqrt{3})), можно воспользоваться формулой сложения арктангенсов:

[ \arctan a + \arctan b = \arctan \left(\frac{a + b}{1 - ab}\right), \quad \text{если } ab < 1. ]

В данном случае (a = \frac{1}{\sqrt{3}}) и (b = \sqrt{3}).

Сначала вычислим произведение (ab):

[ ab = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 1. ]

Так как (ab = 1), то формула сложения, применяемая напрямую, не подходит. В таких случаях, когда произведение (ab = 1), сумма арктангенсов равна (\frac{\pi}{2}), если оба угла находятся в диапазоне от (0) до (\frac{\pi}{2}).

Теперь проверим, находятся ли (\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)) и (\arctan(\sqrt{3})) в этом диапазоне:

1. (\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)) — угол, тангенс которого равен (\frac{1}{\sqrt{3}}). Это соответствует углу (\frac{\pi}{6}), поскольку (\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}).

2. (\arctan(\sqrt{3})) — угол, тангенс которого равен (\sqrt{3}). Это соответствует углу (\frac{\pi}{3}), поскольку (\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}).

Оба угла находятся в диапазоне от (0) до (\frac{\pi}{2}), следовательно, их сумма:

[ \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}. ]

Таким образом, (\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2}).