Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными...

Пусть сумма, взятая в кредит, равна Х. Тогда общая сумма, выплаченная за весь срок кредитования, равна 1.13X.

Пусть каждый ежемесячный платеж равен Y. Поскольку долг уменьшается на одну и ту же величину каждый месяц, то после первого месяца долг составит X - Y, после второго месяца - (X - Y) - Y = X - 2Y, и так далее.

Таким образом, общая сумма всех ежемесячных платежей равна сумме арифметической прогрессии: Y + (X - Y) + (X - 2Y) + . + 0 = 1.13X

Y + X - Y - 2Y - . - 12Y = 1.13X 13Y = 1.13X Y = 0.087X

Таким образом, r = 8.7%.

Рассмотрим задачу более подробно.

Пусть ( S ) — сумма кредита, взятая Алексеем. Платежи проводятся ежемесячно в течение 12 месяцев. Согласно условию, общая сумма, выплаченная Алексеем, на 13% больше, чем сумма кредита, то есть:

[ \text{Общая выплата} = S + 0.13S = 1.13S ]

Обозначим ежемесячное уменьшение основного долга как ( d ). Поскольку долг уменьшается равномерно каждый месяц, ( d = \frac{S}{12} ).

В конце каждого месяца к оставшемуся долгу добавляются проценты ( r \% ). Обозначим месячный процент в десятичной форме как ( r ) (например, если ( r = 5 \% ), то ( r = 0.05 )).

Рассчитаем платежи по месяцам:

1. Первый месяц:

   • Остаток долга: ( S )
   • Проценты на остаток долга: ( r \cdot S )
   • Ежемесячное уменьшение долга: ( d = \frac{S}{12} )
   • Общий платеж в первый месяц: ( d + r \cdot S = \frac{S}{12} + r \cdot S )

2. Второй месяц:

   • Остаток долга после первого месяца: ( S - d = S - \frac{S}{12} = \frac{11S}{12} )
   • Проценты на остаток долга: ( r \cdot \frac{11S}{12} )
   • Ежемесячное уменьшение долга: ( d = \frac{S}{12} )
   • Общий платеж во второй месяц: ( d + r \cdot \frac{11S}{12} = \frac{S}{12} + r \cdot \frac{11S}{12} )

3. Третий месяц и далее:

   • Аналогично, остаток долга будет уменьшаться на ( \frac{S}{12} ) каждый месяц.
   • Проценты будут начисляться на оставшийся долг.

Давайте выразим общую сумму всех платежей через ( r ):

Общий платеж за весь срок состоит из суммы всех процентов и суммы основного долга. Сумма всех процентов за весь срок будет следующая:

[ \sum_{k=0}^{11} r \cdot \left(S - k \cdot \frac{S}{12}\right) = r \cdot \left(S + \frac{11S}{12} + \frac{10S}{12} + \ldots + \frac{S}{12}\right) ]

Эта сумма представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом ( S ) и последним членом ( \frac{S}{12} ), количество членов прогрессии 12. Сумма арифметической прогрессии:

[ \text{Сумма арифметической прогрессии} = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{12}{2} \left(S + \frac{S}{12}\right) = 6 \left(S + \frac{S}{12}\right) = 6S \cdot \frac{13}{12} = 6 \cdot \frac{13S}{12} = \frac{78S}{12} = 6.5S ]

Итак, сумма всех процентов за 12 месяцев:

[ r \cdot 6.5S ]

Сумма всех платежей:

[ S + r \cdot 6.5S ]

По условию задачи это равно 1.13S:

[ S + r \cdot 6.5S = 1.13S ]

Разделим все на ( S ):

[ 1 + 6.5r = 1.13 ]

Отсюда:

[ 6.5r = 0.13 ]

[ r = \frac{0.13}{6.5} ]

[ r = 0.02 ]

Таким образом, месячная процентная ставка ( r = 2 \% ).