А) Решите уравнение sin2x=√3sin(3π/2−x). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку...

Для того чтобы решить уравнение ( \sin 2x = \sqrt{3} \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) ), начнем с преобразования правой части уравнения.

Шаг 1: Преобразование правой части уравнения

Используем формулу приведения для синуса: [ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x ] Таким образом, уравнение переписывается в виде: [ \sin 2x = -\sqrt{3} \cos x ]

Шаг 2: Использование тригонометрических тождеств

Теперь используем следующее тригонометрическое тождество для левой части: [ \sin 2x = 2 \sin x \cos x ] Подставляя это в уравнение, получаем: [ 2 \sin x \cos x = -\sqrt{3} \cos x ]

Шаг 3: Упрощение уравнения

Сократим уравнение на ( \cos x ) (при условии, что ( \cos x \neq 0 )), получаем: [ 2 \sin x = -\sqrt{3} ] [ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

Шаг 4: Найдем общий вид решений

Рассмотрим уравнение ( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} ). Значение (-\frac{\sqrt{3}}{2}) синус принимает в точках: [ x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi ] где ( k ) — целое число.

Шаг 5: Проверим условие (\cos x = 0)

Если (\cos x = 0), то (x = \frac{\pi}{2} + n\pi), где (n) — целое число. Подставим в исходное уравнение: [ \sin(2x) = \sin(\pi + 2n\pi) = 0 ] [ -\sqrt{3} \cos x = 0 ] Обе части равны нулю при (\cos x = 0), следовательно, решения (x = \frac{\pi}{2} + n\pi) также подходят.

Шаг 6: Найдем все корни на отрезке ([3\pi; 4\pi])

Теперь найдём конкретные значения, укладывающиеся в отрезок ([3\pi; 4\pi]).

1. Для (x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi):

   • (k=2): (x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3})

2. Для (x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi):

   • (k=2): (x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3})

3. Для (x = \frac{\pi}{2} + n\pi):

   • (n=5): (x = \frac{\pi}{2} + 5\pi = \frac{11\pi}{2})

Теперь проверим попадание в отрезок ([3\pi; 4\pi]):

• (\frac{11\pi}{3} \approx 3.67\pi) (подходит)
• (\frac{10\pi}{3} \approx 3.33\pi) (подходит)
• (\frac{11\pi}{2} \approx 5.5\pi) (не подходит)

Итак, корни уравнения, принадлежащие отрезку ([3\pi; 4\pi]), это: [ x = \frac{11\pi}{3}, \quad x = \frac{10\pi}{3} ]

А) Для начала преобразуем уравнение sin2x=√3sin(3π/2−x): sin2x=√3sin(3π/2−x) sin2x=√3cos(x) sin2x=cos(π/2-x) sin2x=cos(π/2)cosx-sin(π/2)sinx sin2x=0cosx-1sinx sin2x=-sinx

Теперь уравнение примет вид: -sinx = -sinx sinx = sinx

Уравнение верно для любого x.

б) Найдем все корни уравнения sin2x=√3sin(3π/2−x) на отрезке [3π;4π]: Для x принадлежащих отрезку [3π;4π]: 3π ≤ x ≤ 4π

Так как уравнение верно для любого x, то каждое значение x из отрезка [3π;4π] является корнем уравнения.

Таким образом, все корни уравнения sin2x=√3sin(3π/2−x) на отрезке [3π;4π] - это все значения x из данного отрезка.