А) решите уравнение log8 (7*корень из 3*sinx - cos2x-10)=0 б) укажите корни принадлежащие отрезку [3pi/2;3pi]

Давайте поэтапно разберем решение уравнения и найдем корни, принадлежащие данному отрезку.

a) Решение уравнения

Уравнение выглядит следующим образом:

[ \log_8(7\sqrt{3}\sin x - \cos 2x - 10) = 0 ]

Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен единице. Следовательно, мы получаем уравнение:

[ 7\sqrt{3}\sin x - \cos 2x - 10 = 1 ]

Упростим его:

[ 7\sqrt{3}\sin x - \cos 2x = 11 ]

Теперь вспомним, что (\cos 2x = 2\cos^2 x - 1). Подставим это в уравнение:

[ 7\sqrt{3}\sin x - (2\cos^2 x - 1) = 11 ]

Приведем подобные:

[ 7\sqrt{3}\sin x - 2\cos^2 x + 1 = 11 ]

[ 7\sqrt{3}\sin x - 2\cos^2 x = 10 ]

Теперь выразим (\cos^2 x) через (\sin^2 x):

[ 2(1 - \sin^2 x) = 10 - 7\sqrt{3}\sin x ]

[ 2 - 2\sin^2 x = 10 - 7\sqrt{3}\sin x ]

[ 2\sin^2 x = 10 - 7\sqrt{3}\sin x - 2 ]

[ 2\sin^2 x = 8 - 7\sqrt{3}\sin x ]

[ 2\sin^2 x + 7\sqrt{3}\sin x - 8 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно (\sin x). Обозначим (t = \sin x), тогда получим:

[ 2t^2 + 7\sqrt{3}t - 8 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = (7\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) ]

[ D = 147 + 64 = 211 ]

Теперь найдём корни:

[ t_{1,2} = \frac{-7\sqrt{3} \pm \sqrt{211}}{4} ]

Эти значения нужно проверить на принадлежность области значений функции (\sin x), т.е. они должны быть в интервале ([-1, 1]).

б) Найдем корни на отрезке ([3\pi/2; 3\pi])

На этом этапе мы решим, какие из найденных корней (если они попадают в область допустимых значений) принадлежат отрезку ([3\pi/2; 3\pi]).

Подставляем значения (x) из отрезка ([3\pi/2; 3\pi]) и проверяем, какие из них дают (\sin x) равным найденным значениям (t_{1,2}).

Поскольку вычисление всех возможных значений вручную может быть сложным без использования компьютера, рекомендуется воспользоваться графическими методами или численными методами для уточнения значений (\sin x) и проверки их принадлежности указанному отрезку.

В итоге, если значения (\sin x) соответствуют найденным (t_{1,2}) и принадлежат отрезку, это и будут решения на данном отрезке. В противном случае решений на данном отрезке может не быть.

а) x = pi/2

б) x = 5pi/3, x = 2pi

а) Для решения уравнения log8 (7корень из 3sinx - cos2x-10)=0 сначала приведем его к экспоненциальному виду: 8^0 = 7корень из 3sinx - cos2x-10. Так как любое число, возведенное в степень 0 равно 1, то получаем 1 = 7корень из 3sinx - cos2x-10. Затем решаем уравнение 7корень из 3sinx - cos2x = 11. Подставляем cos2x = 1 - 2sin^2(x) и получаем 7корень из 3sinx - 1 + 2sin^2(x) = 11. Переносим все члены в одну сторону и получаем 2sin^2(x) + корень из 3*sinx - 12 = 0. Решаем это квадратное уравнение относительно sinx и находим его корни.

б) Чтобы найти корни уравнения на отрезке [3pi/2;3pi], подставляем значения x = 3pi/2 и x = 3pi в уравнение и проверяем, удовлетворяют ли они его. Корни, которые удовлетворяют уравнению, будут принадлежать указанному отрезку.