6 cos²x+cos x-1=0 решить уравнение

Для решения уравнения 6cos²x + cosx - 1 = 0 можно воспользоваться методом подстановки. Давайте представим уравнение в виде квадратного уравнения относительно cosx:

Пусть y = cosx, тогда уравнение примет вид: 6y² + y - 1 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

D = 1 - 46(-1) = 1 + 24 = 25

y₁,₂ = (-1 ± √25) / 12 y₁ = (-1 + 5) / 12 = 4 / 12 = 1/3 y₂ = (-1 - 5) / 12 = -6 / 12 = -1/2

Таким образом, у нас получились два возможных значения cosx: 1/3 и -1/2. Теперь найдем соответствующие значения x, используя обратную функцию косинуса:

x₁ = arccos(1/3) x₂ = arccos(-1/2)

Таким образом, решением уравнения 6cos²x + cosx - 1 = 0 будут значения x₁ и x₂, которые мы получили выше.

Для решения уравнения (6 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0) введем замену переменной: пусть (y = \cos x). Тогда уравнение становится квадратным относительно (y):

[6y^2 + y - 1 = 0.]

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу для решения квадратного уравнения:

[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},]

где (a = 6), (b = 1), (c = -1). Подставим эти значения в формулу:

[y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6}.]

[y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12}.]

[y = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{12}.]

[y = \frac{-1 \pm 5}{12}.]

Получаем два возможных значения для (y):

1. (y_1 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3},)
2. (y_2 = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}.)

Теперь вернемся к замене переменной (y = \cos x):

1. Для (y_1 = \frac{1}{3}), решим уравнение (\cos x = \frac{1}{3}).

2. Для (y_2 = -\frac{1}{2}), решим уравнение (\cos x = -\frac{1}{2}).

Решение (\cos x = \frac{1}{3}):

(\cos x = \frac{1}{3}) не соответствует стандартным углам на единичной окружности, поэтому мы можем записать его в общем виде:

[x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k,]

где (k) — целое число.

Решение (\cos x = -\frac{1}{2}):

(\cos x = -\frac{1}{2}) соответствует углам (x = \frac{2\pi}{3}) и (x = \frac{4\pi}{3}) в интервале ([0, 2\pi]). Общее решение:

[x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k,] [x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k,]

где (k) — целое число.

Таким образом, общее решение уравнения:

[x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k,] [x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k,] [x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k,]

где (k) — целое число.