√2sinx(3π/2-x) × sinx= cosx а)решите уравнение б)найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку...

Решим уравнение (\sqrt{2 \sin x \left( \frac{3\pi}{2} - x \right)} \cdot \sin x = \cos x).

а) Решение уравнения

Сначала упростим уравнение:

1. Переносим (\cos x) на левую сторону:

[ \sqrt{2 \sin x \left( \frac{3\pi}{2} - x \right)} \cdot \sin x - \cos x = 0 ]

1. Для удобства избавимся от квадратного корня. Для этого возведем обе стороны уравнения в квадрат (при этом нужно учитывать, что обе стороны должны быть неотрицательными):

[ \left( \sqrt{2 \sin x \left( \frac{3\pi}{2} - x \right)} \cdot \sin x \right)^2 = (\cos x)^2 ]

Это приводит к:

[ 2 \sin^2 x \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) = \cos^2 x ]

Используем идентичность (\cos^2 x = 1 - \sin^2 x):

[ 2 \sin^2 x \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) = 1 - \sin^2 x ]

1. Переносим все на одну сторону:

[ 2 \sin^2 x \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) + \sin^2 x - 1 = 0 ]

Объединим подобные:

[ \sin^2 x \left( 2 \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) + 1 \right) - 1 = 0 ]

Отсюда мы можем выделить два случая:

1. (\sin^2 x = 1) (что дает (\sin x = \pm 1))
2. (2 \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) + 1 = 0)

1. Решение первого случая

(\sin x = 1) при (x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi), где (k) — целое число.

(\sin x = -1) при (x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi).

2. Решение второго случая

Решим уравнение:

[ 2 \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) + 1 = 0 ] [ \frac{3\pi}{2} - x = -\frac{1}{2} ] [ x = \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{2} ] (x = \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{2} + 2k\pi).

Итоговое решение

Таким образом, все корни уравнения:

1. (x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi)
2. (x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)
3. (x = \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{2} + 2k\pi)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ([-5\pi; -4\pi])

Теперь найдем значения (k), чтобы корни находились в указанном интервале.

1. Для первого случая:

   [ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi ] Подставим (k = -3): [ x = \frac{\pi}{2} - 6\pi = \frac{\pi}{2} - \frac{12\pi}{2} = -\frac{11\pi}{2} \approx -5.5\pi \text{ (вне интервала)} ] Подставим (k = -2): [ x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = \frac{\pi}{2} - \frac{8\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2} \text{ (вне интервала)} ] Подставим (k = -1): [ x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} \text{ (вне интервала)} ] Подставим (k = 0): [ x = \frac{\pi}{2} \text{ (вне интервала)} ]

2. Для второго случая:

   [ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi ] Подставим (k = -3): [ x = \frac{3\pi}{2} - 6\pi = \frac{3\pi}{2} - \frac{12\pi}{2} = -\frac{9\pi}{2} \text{ (вне интервала)} ] Подставим (k = -2): [ x = \frac{3\pi}{2} - 4\pi = \frac{3\pi}{2} - \frac{8\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2} \text{ (вне интервала)} ] Подставим (k = -1): [ x = \frac{3\pi}{2} - 2\pi = \frac{3\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} \text{ (вне интервала)} ] Подставим (k = 0): [ x = \frac{3\pi}{2} \text{ (вне интервала)} ]

3. Для третьего случая:

   [ x = \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{2} + 2k\pi = \frac{3\pi + 1}{2} + 2k\pi ] Подставим (k = -3): [ x = \frac{3\pi + 1}{2} - 6\pi = \frac{3\pi + 1 - 12\pi}{2} = \frac{-9\pi + 1}{2} \approx -4.5\pi \text{ (вне интервала)} ] Подставим (k = -2): [ x = \frac{3\pi + 1}{2} - 4\pi = \frac{3\pi + 1 - 8\pi}{2} = \frac{-5\pi + 1}{2} \text{ (вне интервала)} ] Подставим (k = -1): [ x = \frac{3\pi + 1}{2} - 2\pi = \frac{3\pi + 1 - 4\pi}{2} = \frac{-\pi + 1}{2} \text{ (вне интервала)} ] Подставим (k = 0): [ x = \frac{3\pi + 1}{2} \text{ (вне интервала)} ]

Таким образом, в интервале ([-5\pi; -4\pi]) нет корней данного уравнения.

Решение задачи:

Дано уравнение:
[ \sqrt{2} \sin\left(x\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)\right) \cdot \sin(x) = \cos(x) ]

Шаг 1: Упростим уравнение

Обратим внимание, что данное уравнение довольно громоздкое. Попробуем упростить его.

1.1. Переменная ( x\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) ) в аргументе синуса представлена в сложной форме. Мы видим, что здесь есть произведение ( x \cdot \frac{3\pi}{2} - x^2 ). В таком виде уравнение решать сложно, поэтому предположим, что аргумент синуса следует рассматривать отдельно (анализировать позже).

1.2. Сфокусируемся на простых множителях. Уравнение можно переписать как:
[ \sqrt{2} \cdot \sin(k) \cdot \sin(x) = \cos(x), ] где ( k = x \left(\frac{3\pi}{2} - x \right) ).

Шаг 2: Анализ возможных решений

Для решения уравнения применим стандартные подходы, такие как разложение на множители или применение тригонометрических тождеств.

Основной случай 1: (\sin(x) = 0)

Если (\sin(x) = 0), то уравнение обращается в ноль:
[ \sqrt{2} \cdot 0 = \cos(x), ] что является тождеством. Значит, (\sin(x) = 0) является решением.

Значения ( x ), при которых (\sin(x) = 0), находятся по формуле:
[ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Основной случай 2: (\cos(x) = 0)

Если (\cos(x) = 0), то уравнение становится:
[ \sqrt{2} \cdot \sin(k) \cdot \sin(x) = 0. ] В этом случае (\sin(x) = 0) (мы уже рассмотрели этот случай) или (\sin(k) = 0).

Значения ( x ), при которых (\cos(x) = 0), находятся по формуле:
[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Основной случай 3: Разделение множителей

Если ни (\sin(x)), ни (\cos(x)) не равны нулю, то решаем основное уравнение. Здесь требуется анализ функции ( \sin(k) ), где ( k = x \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) ), что выходит за рамки элементарной тригонометрии. Такое выражение приводит к необходимости численного анализа.

Шаг 3: Найдём корни на заданном промежутке

Промежуток:
[ [-5\pi; -4\pi]. ]

Подставим значения ( x = \pi n ) ((\sin(x) = 0)):

[ x = -5\pi, -4\pi. ] Оба значения принадлежат заданному промежутку.

Подставим значения ( x = \frac{\pi}{2} + \pi n ) ((\cos(x) = 0)):

Здесь мы видим, что в промежутке ([-5\pi; -4\pi]) нет значений ( x ), удовлетворяющих этой формуле.

Ответ:

а) Общие решения:
[ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

б) В указанном промежутке ([-5\pi; -4\pi]) корни:
[ x = -5\pi, -4\pi. ]