2) Плоскость α пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N соответственно. BN:NC=5:8....

а) Для доказательства того, что AC || α, рассмотрим отношения BN:NC и MB:AB. По условию BN:NC=5:8 и MB:AB=5:13. Так как отношения равны, то углы, образованные прямыми АС и α считают секущей, также будут равны. Следовательно, AC || α.

б) Из подобия треугольников ВМN и ВАС находим, что MN/AC=MB/AB=5/13. Так как AC=26, то MN=26*(5/13)=10.

а) Поскольку BN:NC=5:8, то из подобия треугольников АВМ и СНМ следует, что MB:AB=5:13=5:8+5. Таким образом, треугольники АВМ и СНМ подобны, следовательно, угол АМВ равен углу СНМ. Так как углы при основании равны, то прямые АС и MN параллельны.

б) Поскольку АС || MN, то треугольники АМВ и СНМ подобны, следовательно, AM:MN=AB:NC=13:8. Так как AM+MN=AC, то MN=AC8/(8+13)=268/21=64/3.

Итак, MN = 64/3.

а) Для доказательства того, что АС параллельна плоскости α, давайте рассмотрим следующий подход:

Сначала обратите внимание, что если плоскость пересекает стороны угла или треугольника и делит эти стороны в одном и том же отношении, то такая плоскость параллельна не пересекаемой стороне треугольника или лучу угла.

1. Рассмотрим треугольник АВС. Пусть плоскость α пересекает сторону АВ в точке М и сторону ВС в точке N. По условию, MB : AB = 5 : 13 и BN : NC = 5 : 8.

2. Для того чтобы показать параллельность, достаточно доказать что отношения, в которых точки М и N делят стороны АВ и ВС, пропорциональны. Это следует из основного свойства параллельных проекций и секущих плоскостей.

3. Пусть AB = 13k и BC = 13m для некоторых k и m. Тогда MB = 5k и BN = 5m. Из условия BN : NC = 5 : 8, следует, что BC = 13m = BN + NC = 5m + 8m.

4. Из MB : AB = 5 : 13, следует, что MB = 5k и AB = 13k; в итоге получаем, что точка M делит сторону AB в том же отношении, что и точка N делит сторону BC.

5. Таким образом, секущая плоскость α делит стороны AB и BC треугольника ABC в одинаковом отношении, что по теореме Фалеса означает, что АС параллельна плоскости α.

б) Для нахождения MN, если АС = 26:

1. Так как АС параллельна α, и плоскость α пересекает стороны AB и BC треугольника, то отрезок MN, соединяющий точки пересечения плоскости со сторонами, будет параллелен AC.

2. Поскольку MB : AB = 5 : 13, а BC = 13m, можно сказать, что MN, будучи проекцией AC на плоскость α, будет иметь длину пропорциональную AC.

3. Так как α пересекает стороны AB и BC в одинаковом отношении, MN будет пропорциональна AC, а именно MN = AC (MB / AB) = 26 (5 / 13) = 10.

Таким образом, длина MN равна 10.