1)Пусть D (f)=[-2;7]-область определения, E (f)=[-3;6]-область значений функции y=f (x), найти область...

1) Для функции y=f(x+1)-2: Область определения: D(f) = [-2;7] + 1 = [-1;8] Область значений: E(f) = [-3;6] - 2 = [-5;4]

2) График функции y=(2x-1)/(x+3): Уравнение асимптот: Горизонтальная асимптота: y = 2 (предел при x -> ∞) Вертикальная асимптота: x = -3 (уравнение асимптоты, где знаменатель равен нулю)

Давайте рассмотрим каждый из вопросов по отдельности.

1) Область определения и область значений функции ( y = f(x+1) - 2 ).

Область определения:

Изначально, область определения функции ( f(x) ) задана как ( D(f) = [-2, 7] ). Мы ищем область определения для функции ( y = f(x+1) - 2 ).

При изменении переменной ( x \to x + 1 ), новый аргумент ( x+1 ) должен принадлежать области определения исходной функции. Это значит, что:

[ x + 1 \in [-2, 7] ]

Чтобы найти область определения для ( x ), решим неравенства:

[ -2 \leq x + 1 \leq 7 ]

Решая их, получаем:

[ -3 \leq x \leq 6 ]

Таким образом, область определения новой функции ( y = f(x+1) - 2 ) будет ( D(y) = [-3, 6] ).

Область значений:

Область значений исходной функции ( f(x) ) задана как ( E(f) = [-3, 6] ). Теперь нам нужно понять, как преобразуется область значений при изменении функции на ( y = f(x+1) - 2 ).

Функция ( y ) переводит каждое значение ( f(x+1) ) в ( f(x+1) - 2 ). Это означает, что каждое значение области значений исходной функции ( E(f) ) сдвигается вниз на 2 единицы.

То есть:

[ E(y) = [-3 - 2, 6 - 2] = [-5, 4] ]

Итак, область значений новой функции ( y = f(x+1) - 2 ) будет ( E(y) = [-5, 4] ).

2) Построение графика функции ( y = \frac{2x - 1}{x + 3} ) и нахождение асимптот.

Вертикальная асимптота:

Вертикальные асимптоты возникают в точках, где знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю. Для данной функции:

[ x + 3 = 0 \implies x = -3 ]

Таким образом, у функции есть вертикальная асимптота при ( x = -3 ).

Горизонтальная асимптота:

Горизонтальные асимптоты для дробно-рациональных функций зависят от степеней числителя и знаменателя. В данном случае степень числителя и знаменателя равны (оба первой степени), так что горизонтальная асимптота определяется отношением коэффициентов при старших степенях:

[ y = \frac{2}{1} = 2 ]

Следовательно, горизонтальная асимптота ( y = 2 ).

Построение графика:

1. Вертикальная асимптота: ( x = -3 ).
2. Горизонтальная асимптота: ( y = 2 ).

Чтобы построить график, также можно определить несколько точек. Например, при ( x = 0 ):

[ y = \frac{2 \cdot 0 - 1}{0 + 3} = -\frac{1}{3} ]

При ( x = -4 ):

[ y = \frac{2 \cdot (-4) - 1}{-4 + 3} = \frac{-8 - 1}{-1} = 9 ]

С этими данными можно построить график, который будет приближаться к вертикальной асимптоте ( x = -3 ) и горизонтальной асимптоте ( y = 2 ).