Для решения данной задачи необходимо учесть ряд условий и сделать соответствующие математические вычисления. Введем необходимые переменные и постепенно разберем шаги решения.
Пусть ( S ) — сумма кредита, взятая 15 января. Нам известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит, то есть:
[ \text{Общая сумма выплат} = 1.2S ]
Пусть ( r ) — месячная процентная ставка. Долг на 15-е число каждого месяца уменьшается на одну и ту же сумму. Обозначим эту сумму через ( A ). Таким образом, на 15-е число каждого месяца долг уменьшается на ( A ).
Долг на 15-е число следующего месяца можно выразить как:
[ S - A ]
[ S - 2A ]
[ S - 3A ]
[ \vdots ]
[ S - 39A ]
На 15-е число 40-го месяца долг должен быть равен нулю:
[ S - 39A = 0 ]
Отсюда:
[ A = \frac{S}{39} ]
Теперь рассмотрим долг на 1-е число каждого месяца. Пусть ( D_n ) — долг на 1-е число ( n )-го месяца. Тогда:
[ D_1 = S ]
На 1-е число второго месяца:
[ D_2 = (S - A) \cdot (1 + \frac{r}{100}) ]
На 1-е число третьего месяца:
[ D_3 = (S - 2A) \cdot (1 + \frac{r}{100}) ]
И так далее, вплоть до 1-го числа 40-го месяца:
[ D_{40} = (S - 39A) \cdot (1 + \frac{r}{100}) = 0 ]
Теперь рассмотрим сумму всех выплат. В каждый месяц с 2-го по 14-е число происходит выплата, которая уменьшает долг на ( A ). Таким образом, каждый месяц выплачивается ( A ). За 39 месяцев будет произведено 39 выплат по ( A ) плюс проценты, начисленные за каждый месяц.
Общая сумма выплат за 39 месяцев будет:
[ \text{Общая сумма выплат} = \sum_{k=0}^{38} (S - kA) \cdot \frac{r}{100} + 39A ]
Так как ( A = \frac{S}{39} ), подставим это значение:
[ \text{Общая сумма выплат} = \sum_{k=0}^{38} \left( S - k \cdot \frac{S}{39} \right) \cdot \frac{r}{100} + 39 \cdot \frac{S}{39} ]
Упростим это выражение:
[ \text{Общая сумма выплат} = S \cdot \frac{r}{100} \sum_{k=0}^{38} \left(1 - \frac{k}{39}\right) + S ]
Сумма внутри выражения:
[ \sum{k=0}^{38} \left(1 - \frac{k}{39}\right) = \sum{k=0}^{38} 1 - \sum_{k=0}^{38} \frac{k}{39} ]
Первая сумма равна 39, а вторая сумма — это арифметическая прогрессия:
[ \sum_{k=0}^{38} k = \frac{38 \cdot 39}{2} = 741 ]
Таким образом:
[ \sum_{k=0}^{38} \left(1 - \frac{k}{39}\right) = 39 - \frac{741}{39} = 39 - 19 = 20 ]
Теперь подставим это обратно:
[ \text{Общая сумма выплат} = S \cdot \frac{r}{100} \cdot 20 + S ]
Так как общая сумма выплат на 20% больше суммы кредита:
[ S \cdot \frac{r}{100} \cdot 20 + S = 1.2S ]
Упростим это уравнение:
[ S \cdot \frac{20r}{100} + S = 1.2S ]
[ \frac{20r}{100} + 1 = 1.2 ]
[ \frac{20r}{100} = 0.2 ]
[ 20r = 20 ]
[ r = 1 ]
Таким образом, месячная процентная ставка ( r = 1\% ).
