1. Вычислите: log основание 2 96 - log основание 2 3 - log основ. 9 81 2. Уравнение log осн. 7 (9 -...

Давайте разберем каждый вопрос по порядку:

1. Вычислите: (\log_2 96 - \log_2 3 - \log_9 81)

Используем свойства логарифмов: [ \log_2 96 - \log_2 3 = \log_2 \left(\frac{96}{3}\right) = \log_2 32 ] [ \log_2 32 = 5, \text{так как } 2^5 = 32. ] Также: [ \log_9 81 = \log_9 (9^2) = 2. ] Следовательно: [ \log_2 96 - \log_2 3 - \log_9 81 = 5 - 2 = 3. ]

1. Уравнение (\log_7 (9 - x) = 2)

Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: [ 9 - x = 7^2 ] [ 9 - x = 49 ] [ x = 9 - 49 = -40. ]

1. Укажите четверть, в которой лежит угол (A), если (A = 380^\circ).

Углы в стандартной форме находятся в пределах (0^\circ) до (360^\circ). Вычтем полный круг: [ 380^\circ - 360^\circ = 20^\circ. ] Угол (20^\circ) находится в первой четверти.

1. Найдите значение (\cos) угла (A), если известно, что (\sin A = -0.6).

Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 ] [ (-0.6)^2 + \cos^2 A = 1 ] [ 0.36 + \cos^2 A = 1 ] [ \cos^2 A = 1 - 0.36 = 0.64 ] [ \cos A = \pm \sqrt{0.64} = \pm 0.8. ]

1. Из 10 кандидатов нужно выбрать 3 на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

Используем формулу сочетаний: [ Cn^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} ] [ C{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120. ]

1. Плоскость (\alpha) пересекает стороны (AB) и (BC) треугольника (ABC) соответственно в точках (D) и (E), причём (AC \parallel \alpha). Найдите (AC), если (BD:AD=5:4) и (DE=10) см.

Из условия следует, что (\alpha) делит стороны (AB) и (BC) в одинаковых пропорциях. То есть (DE \parallel AC). Используем теорему о пропорциональных отрезках: [ \frac{BD}{AD} = \frac{5}{4}, \quad \text{значит} \quad AC = 10 \text{ см} \times \frac{5+4}{4} = 22.5 \text{ см}. ]

1. Решить уравнение (2 \sin x = 1)

[ \sin x = \frac{1}{2} ] Решения в пределах одного круга: [ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi. ]

1. Вычислите скалярное произведение векторов (\mathbf{a} = {3, -6, 1}) и (\mathbf{b} = {9, 2, -3})

Скалярное произведение: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 9 + (-6) \cdot 2 + 1 \cdot (-3) = 27 - 12 - 3 = 12. ]

1. Из точки (A) проведены к плоскости (\alpha) перпендикуляр (AH = 12) и наклонная (AM = 15). Найдите проекцию наклонной на плоскость (\alpha).

Проекция наклонной (AM) на плоскость (\alpha) равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами (AH) и (MH): [ AM^2 = AH^2 + MH^2 ] [ 15^2 = 12^2 + MH^2 ] [ 225 = 144 + MH^2 ] [ MH^2 = 81 ] [ MH = 9. ]

1. Решите уравнение (\log_{1/5} (x^2 - 4x) = -1)

Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: [ x^2 - 4x = (1/5)^{-1} = 5 ] [ x^2 - 4x - 5 = 0. ] Решим квадратное уравнение: [ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}. ] [ x = 5, \quad x = -1. ]

1. Решите неравенство (\log_2 (x+7) \geq \log_2 (3-x))

Поскольку функция логарифма монотонна: [ x + 7 \geq 3 - x ] [ 2x \geq -4 ] [ x \geq -2. ] Проверим области определения: [ x + 7 > 0 \Rightarrow x > -7 ] [ 3 - x > 0 \Rightarrow x < 3. ] Объединяя: [ -7 < x \leq 3. ]

1. Решите уравнение (\cos^2 x - 5 \cos x - 6 = 0)

Обозначим (\cos x = t): [ t^2 - 5t - 6 = 0 ] Решим квадратное уравнение: [ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} ] [ t = 6, \quad t = -1. ] Рассмотрим корни: [ \cos x = 6 \text{ - нет решений, поскольку }\cos x \in [-1, 1]. ] [ \cos x = -1 \Rightarrow x = (2k+1)\pi. ]

1. Упростите уравнение (2 \sin (\pi + a) \cdot \sin \left(\frac{3\pi}{2} - a\right) + \tan (\pi - a) \cdot \cot (2\pi + a)).

Используем свойства тригонометрических функций: [ \sin (\pi + a) = -\sin a, ] [ \sin \left(\frac{3\pi}{2} - a\right) = -\cos a, ] [ \tan (\pi - a) = -\tan a, ] [ \cot (2\pi + a) = \cot a. ] Подставим: [ 2 (-\sin a) (-\cos a) + (-\tan a) (\cot a) = 2 \sin a \cos a - \tan a \cot a. ] Используем (\tan a \cot a = 1): [ 2 \sin a \cos a - 1. ]

Итак, все задачи решены.