1. Вектор AB=a задан координатами своих концов : A(2;4;-3) и B(6;-3;1) Вычислите его длину и конусы...

1. Длина вектора AB=a равна корню из суммы квадратов разностей координат концов вектора: |a| = √((6-2)^2 + (-3-4)^2 + (1+3)^2) = √(4^2 + (-7)^2 + 4^2) = √(16 + 49 + 16) = √81 = 9 Косинусы углов вектора с базисными векторами можно найти через скалярное произведение векторов.
2. Для доказательства взаимной перпендикулярности векторов a и b необходимо показать, что их скалярное произведение равно нулю: a b = 53 + (-2)4 + 7(-1) = 15 - 8 - 7 = 0
3. Координаты вектора m=AB-DC можно найти, вычитая координаты вектора DC из координат вектора AB: m = (6-(-2); -3-0; 1-3) = (8; -3; -2)

Давайте разберем каждый из вопросов по порядку.

1. Вычисление длины вектора AB и косинусов углов с базисными векторами:

   Вектор ( \mathbf{AB} ) можно найти как разность координат его концов: [ \mathbf{AB} = B - A = (6 - 2, -3 - 4, 1 + 3) = (4, -7, 4) ]

   Длина вектора ( \mathbf{AB} ) (или его модуль) равна: [ |\mathbf{AB}| = \sqrt{4^2 + (-7)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9 ]

   Косинусы углов, которые вектор образует с базисными векторами ( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} ), можно найти с помощью скалярного произведения. Если (\mathbf{AB} = (x, y, z)), то косинусы углов определяются как: [ \cos \alpha = \frac{x}{|\mathbf{AB}|}, \quad \cos \beta = \frac{y}{|\mathbf{AB}|}, \quad \cos \gamma = \frac{z}{|\mathbf{AB}|} ] Для вектора ( \mathbf{AB} = (4, -7, 4) ): [ \cos \alpha = \frac{4}{9}, \quad \cos \beta = \frac{-7}{9}, \quad \cos \gamma = \frac{4}{9} ]

2. Доказательство, что векторы ( \mathbf{a} = 5\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 7\mathbf{k} ) и ( \mathbf{b} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - \mathbf{k} ) взаимно перпендикулярны:

   Векторы являются взаимно перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (5)(3) + (-2)(4) + (7)(-1) = 15 - 8 - 7 = 0 ] Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) действительно взаимно перпендикулярны.

3. Нахождение координат вектора ( \mathbf{m} = \mathbf{AB} - \mathbf{DC} ):

   Сначала вычислим векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{DC} ): [ \mathbf{AB} = B - A = (-3 - 1, 2 - 5, -1 - 0) = (-4, -3, -1) ] [ \mathbf{DC} = C - D = (-2 - 4, 0 + 5, 3 + 2) = (-6, 5, 5) ]

   Теперь найдем вектор ( \mathbf{m} = \mathbf{AB} - \mathbf{DC} ): [ \mathbf{m} = (-4, -3, -1) - (-6, 5, 5) = (-4 + 6, -3 - 5, -1 - 5) = (2, -8, -6) ]

Таким образом, координаты вектора ( \mathbf{m} ) равны ( (2, -8, -6) ).

1. Длина вектора AB=a вычисляется по формуле: |AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2), где (x1, y1, z1) - координаты точки A, (x2, y2, z2) - координаты точки B. Подставив значения координат, получим |AB| = √((6 - 2)^2 + (-3 - 4)^2 + (1 + 3)^2) = √(4^2 + (-7)^2 + 4^2) = √(16 + 49 + 16) = √81 = 9. Таким образом, длина вектора AB=a равна 9.

Углы, которые образует вектор a с базисными векторами, можно найти по формуле cos(α) = (a b) / (|a| |b|), где α - угол между векторами a и b, (a * b) - скалярное произведение векторов a и b. Вычислив скалярное произведение и длины векторов, можно найти углы.

1. Для доказательства взаимной перпендикулярности векторов a=5i-2j+7k и b=3i+4j-k необходимо показать, что их скалярное произведение равно 0. Скалярное произведение векторов a и b равно (5 3) + (-2 4) + (7 * -1) = 15 - 8 - 7 = 0. Следовательно, векторы a и b взаимно перпендикулярны.

2. Координаты вектора m=AB-DC можно найти вычитая координаты вектора DC из координат вектора AB. m = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), где (x1, y1, z1) - координаты точки D, (x2, y2, z2) - координаты точки C. Подставив значения координат, получим m = ((-3 - 1), (2 - 5), (-1 - 0)) = (-4, -3, -1). Таким образом, координаты вектора m равны (-4, -3, -1).