1. Даны 3 точки. Сколько разных ломаных из двух звеньев с вершинами в этих точках можно нарисовать?...

1. Для 3 точек можно нарисовать 3 различных ломаных из двух звеньев: AB, BC, и AC.

2. Для 4 точек можно нарисовать 6 различных ломаных из двух звеньев: AB, BC, CD, AC, BD, и AD.

1. Для трех точек можно нарисовать 3 различные ломаные из двух звеньев.
2. Для четырех точек можно нарисовать 6 различных ломаных из двух звеньев.

Давайте рассмотрим оба вопроса по порядку, чтобы дать подробные ответы.

Вопрос 1: Даны 3 точки. Сколько разных ломаных из двух звеньев с вершинами в этих точках можно нарисовать?

Когда у нас есть 3 точки, обозначим их $A$, $B$ и $C$. Ломаная из двух звеньев подразумевает, что это ломаная линия, состоящая из двух отрезков $двухзвеньев$, соединяющих три точки последовательно.

Чтобы составить различные ломаные, нужно определить все возможные последовательности, в которых эти три точки могут быть соединены. Для этого нам нужно просто переставить три точки в разные порядки.

Число способов перестановки трёх элементов $A$, $B$ и $C$ равно $3!$ $факториалтрёх$:

$3!=3\times 2\times 1=6$

Таким образом, из трех точек можно составить 6 разных ломаных из двух звеньев:

1. $A\to B\to C$
2. $A\to C\to B$
3. $B\to A\to C$
4. $B\to C\to A$
5. $C\to A\to B$
6. $C\to B\to A$

Ответ: 6 различных ломаных из двух звеньев.

Вопрос 2: Даны 4 точки. Сколько разных ломаных из двух звеньев с вершинами в этих точках можно нарисовать?

Теперь у нас есть 4 точки, обозначим их $A$, $B$, $C$ и $D$. Ломаная из двух звеньев означает, что мы выбираем три из этих четырех точек и соединяем их последовательно в виде ломаной линии.

1. Сначала выберем 3 точки из 4. Количество способов выбрать 3 точки из 4 можно найти с помощью биномиального коэффициента:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})=4$

Это означает, что мы можем выбрать 3 точки любым из 4 способов.

1. Для каждой выбранной тройки точек, как мы уже выяснили в первом вопросе, существует 6 различных способов перестановки этих точек.

Таким образом, общее количество различных ломаных линий из двух звеньев с вершинами в четырёх точках равно:

$4\times 6=24$

Ответ: 24 различных ломаных из двух звеньев.