1-cosальфа+cos2альфа/sin2альфа-sin альфа

Для упрощения выражения (\frac{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha}) начнем с преобразования составляющих:

1. Преобразуем числитель: Вспомним, что (\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1). Подставим это в числитель: [ 1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha = 1 - \cos \alpha + (2\cos^2 \alpha - 1) = -\cos \alpha + 2\cos^2 \alpha. ] Таким образом, числитель можно переписать как: [ 2\cos^2 \alpha - \cos \alpha. ]

2. Преобразуем знаменатель: Вспомним, что (\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha). Подставим это в знаменатель: [ \sin 2\alpha - \sin \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha = \sin \alpha (2\cos \alpha - 1). ]

Теперь мы можем записать полное выражение: [ \frac{2\cos^2 \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha (2\cos \alpha - 1)}. ]

1. Упрощение: В числителе (2\cos^2 \alpha - \cos \alpha) можно вынести (\cos \alpha): [ \cos \alpha (2\cos \alpha - 1). ] Таким образом, выражение принимает вид: [ \frac{\cos \alpha (2\cos \alpha - 1)}{\sin \alpha (2\cos \alpha - 1)}. ]

2. Сокращение: Если (2\cos \alpha - 1 \neq 0) (то есть (\cos \alpha \neq \frac{1}{2})), мы можем сократить (2\cos \alpha - 1) в числителе и знаменателе: [ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha. ]

Таким образом, окончательный ответ: [ \frac{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha} = \cot \alpha, \quad \text{при } 2\cos \alpha \neq 1. ]

Если (\cos \alpha = \frac{1}{2}), то (2 \cos \alpha - 1 = 0), и выражение не определено. В этом случае (\alpha) может принимать значения (60^\circ) или (300^\circ) (или (\frac{\pi}{3}) и (\frac{5\pi}{3}) в радианах).

Разберём выражение:

[ \frac{1 - \cos\alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin\alpha}. ]

Для упрощения и анализа давайте использовать тригонометрические тождества.

Тригонометрические тождества:

1. Формула двойного угла для синуса и косинуса: [ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, ] [ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha, ] или альтернативно: [ \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha. ]

2. Основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1. ]

3. Разность синусов: [ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right). ]

Разбираем числитель:

Числитель: [ 1 - \cos\alpha + \cos 2\alpha. ]

Используем тождество для (\cos 2\alpha): [ \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1. ]

Подставляем: [ 1 - \cos\alpha + (2\cos^2\alpha - 1). ]

Приводим подобные: [ 1 - 1 - \cos\alpha + 2\cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha - \cos\alpha. ]

Числитель упростился до: [ 2\cos^2\alpha - \cos\alpha. ]

Разбираем знаменатель:

Знаменатель: [ \sin 2\alpha - \sin\alpha. ]

Используем формулу разности синусов: [ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right). ]

В нашем случае (A = 2\alpha) и (B = \alpha). Тогда: [ \sin 2\alpha - \sin\alpha = 2\cos\left(\frac{2\alpha + \alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{2\alpha - \alpha}{2}\right). ]

Упрощаем: [ \sin 2\alpha - \sin\alpha = 2\cos\left(\frac{3\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right). ]

Знаменатель упростился до: [ 2\cos\left(\frac{3\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right). ]

Общее выражение:

Теперь выражение принимает вид: [ \frac{2\cos^2\alpha - \cos\alpha}{2\cos\left(\frac{3\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}. ]

Возможное упрощение:

В числителе можно вынести (\cos\alpha) за скобки: [ 2\cos^2\alpha - \cos\alpha = \cos\alpha(2\cos\alpha - 1). ]

Подставляем в дробь: [ \frac{\cos\alpha(2\cos\alpha - 1)}{2\cos\left(\frac{3\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}. ]

Это окончательное выражение, которое уже зависит от угла (\alpha). Дальнейшее упрощение возможно только при конкретных значениях (\alpha).